Questão: Determine a expressão de
(f^-1)^prime(f(x)), lembrando-se que (f^-1)^prime(f(x))=1f^prime(x) :
f(x)=sen(ln x), e^-pi / 2<x<e^pi / 2;

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x)=sen(ln x), em que e^-pi/2<x<e^pi/2, e pede para determinar
(f^-1)'(f(x)),
sabendo que
(f^-1)'(f(x))=1f'(x)
Para isso, primeiro vamos calcular f'(x) usando a regra da cadeia.

Passo 2

Defina u=ln x, de modo que f(x)=sin(u). Então, pela regra da cadeia,
f'(x)=cos(u)cdotdudx =cos(ln x)cdot1x =cos(ln x)x

Passo 3

Agora aplicamos a fórmula da derivada da inversa:
(f^-1)'(f(x)) =1f'(x) =1cos(ln x)x =xcos(ln x)

Resposta

(f^-1)'(f(x))=xcos(ln x)

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