O que significam as notações oint e oiint ? Quando são usadas?

Passo 1

O enunciado pergunta o que significam as notações oint e oiint, e quando elas são usadas. O tema envolve integrais sobre curvas e superfícies fechadas, típicas de cálculo vetorial (teoremas de Stokes e Gauss) e de análise complexa (teorema dos resíduos).

Passo 2

Em cálculo vetorial, a integral de linha de um campo vetorial vec F ao longo de uma curva genérica C é
integralC vec F cdot dvec r
Se C for uma curva fechada (isto é, começa e termina no mesmo ponto), adiciona-se um círculo ao símbolo de integral para enfatizar que não há extremidades distintas:
ointC vec F cdot dvec r

Passo 3

Em análise de funções complexas, usa-se a mesma notação para indicar integração ao longo de um contorno fechado C no plano complexo:
ointC f(z),dz
Esse tipo de integral é central no Teorema dos Resíduos, que calcula ointC f(z),dz em função das singularidades de f dentro de C.

Passo 4

Para superfícies, a integral de fluxo de vec F através de uma superfície aberta S é
integral duplaS vec F cdot dvec S
Quando S é uma superfície fechada (por exemplo, uma esfera sem borda), usa-se
oiintS vec F cdot dvec S,
indicando que a superfície envolve um volume sem fronteiras.

Passo 5

A notação oiint aparece especialmente no Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss):
oiintS vec F cdot dvec S ;=; integral triplaV nabla!cdot!vec F ,dV,
relacionando o fluxo de vec F em uma superfície fechada S ao volume V interno.

Resposta

oint é a integral de linha sobre uma curva fechada.
oiint é a integral de superfície sobre uma superfície fechada.
Elas são usadas sempre que o domínio de integração não tem bordas, destacando propriedades como circulação, divergência ou teoremas de análise complexa.

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