O que significam as notações
e
? Quando são usadas?
Passo 1
O enunciado pergunta o que significam as notações
e
, e quando elas são usadas. O tema envolve integrais sobre curvas e superfícies fechadas, típicas de cálculo vetorial (teoremas de Stokes e Gauss) e de análise complexa (teorema dos resíduos).
Passo 2
Em cálculo vetorial, a integral de linha de um campo vetorial
ao longo de uma curva genérica
é
Se
for uma curva fechada (isto é, começa e termina no mesmo ponto), adiciona-se um círculo ao símbolo de integral para enfatizar que não há extremidades distintas:
Passo 3
Em análise de funções complexas, usa-se a mesma notação para indicar integração ao longo de um contorno fechado
no plano complexo:
Esse tipo de integral é central no Teorema dos Resíduos, que calcula
em função das singularidades de
dentro de
.
Passo 4
Para superfícies, a integral de fluxo de
através de uma superfície aberta
é
Quando
é uma superfície fechada (por exemplo, uma esfera sem borda), usa-se
indicando que a superfície envolve um volume sem fronteiras.
Passo 5
A notação
aparece especialmente no Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss):
relacionando o fluxo de
em uma superfície fechada
ao volume
interno.
Resposta
Elas são usadas sempre que o domínio de integração não tem bordas, destacando propriedades como circulação, divergência ou teoremas de análise complexa.