Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)-x}{x^{3}}\,},

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)-x}{x^{3}}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão é uma razão entre duas funções de x.
  • Quando x=0, o numerador vale \operatorname{sen}(0)-0=0 e o denominador vale 0^{3}=0.
  • Portanto, ao substituir x=0 obtemos a forma indeterminada 0/0, o que exige técnicas de cálculo de limites (não podemos apenas substituir).

Passo 2

Vou usar o Teorema de l’Hôpital porque temos a forma indeterminada 0/0 e as funções no numerador e denominador são diferenciáveis em torno de 0. L’Hôpital diz, de forma simples:
se
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}
é da forma 0/0 ou \infty/\infty, e f e g são diferenciáveis em torno de a (exceto talvez em a), então, se existir,
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Explicando devagar: aplicamos l’Hôpital tomando derivada do numerador e do denominador e avaliamos o novo limite. Se continuar indeterminado, podemos aplicar de novo, desde que as hipóteses continuem válidas.

Passo 3

Aplicando l’Hôpital pela primeira vez a
\frac{\operatorname{sen}(x)-x}{x^{3}},
calculamos as derivadas:
  • derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}\big(\operatorname{sen}(x)-x\big)=\cos(x)-1,
  • derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
Logo o limite passa a ser
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{3x^{2}}.
Nota: avaliando em x=0 obtemos \cos(0)-1=0 e 3\cdot 0^{2}=0, então ainda é 0/0. Podemos aplicar l’Hôpital novamente.

Passo 4

Aplicando l’Hôpital pela segunda vez ao limite
\lim_{x\to 0}\frac{\cos(x)-1}{3x^{2}},
tomamos derivadas novamente:
  • derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}\big(\cos(x)-1\big)=-\operatorname{sen}(x),
  • derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}\big(3x^{2}\big)=6x.
O limite torna-se
\lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen}(x)}{6x}.
Avaliar em x=0 -\operatorname{sen}(0)=0 no numerador e 6\cdot 0=0 no denominador — ainda 0/0. Podemos aplicar l’Hôpital mais uma vez.

Passo 5

Aplicando l’Hôpital pela terceira vez ao limite
\lim_{x\to 0}\frac{-\operatorname{sen}(x)}{6x},
calculamos as derivadas:
  • derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}\big(-\operatorname{sen}(x)\big)=-\cos(x),
  • derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}\big(6x\big)=6.
Agora o limite é
\lim_{x\to 0}\frac{-\cos(x)}{6}.
Como \cos(x) é contínua, podemos simplesmente substituir x=0:
\frac{-\cos(0)}{6}=\frac{-1}{6}.

Passo 6

Interpretação / checagem alternativa (útil para fixar a ideia): usando a série de Taylor (Maclaurin) de \operatorname{sen}(x) em torno de 0,
\operatorname{sen}(x)=x-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}),
onde o(x^{3}) denota termos que são de ordem muito menor que x^{3} quando x\to 0. Substituindo,
\operatorname{sen}(x)-x=-\frac{x^{3}}{6}+o(x^{3}),
logo
\frac{\operatorname{sen}(x)-x}{x^{3}}=-\frac{1}{6}+\frac{o(x^{3})}{x^{3}}\longrightarrow -\frac{1}{6}.
Isso confirma o resultado obtido por l’Hôpital.

Resposta

-\dfrac{1}{6}

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