Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A expressão é uma razão entre duas funções de
. - Quando
, o numerador vale e o denominador vale . - Portanto, ao substituir
obtemos a forma indeterminada , o que exige técnicas de cálculo de limites (não podemos apenas substituir).
Passo 2
Vou usar o Teorema de l’Hôpital porque temos a forma indeterminada
e as funções no numerador e denominador são diferenciáveis em torno de
. L’Hôpital diz, de forma simples:
se
se
é da forma
ou
, e
e
são diferenciáveis em torno de
(exceto talvez em
), então, se existir,
Explicando devagar: aplicamos l’Hôpital tomando derivada do numerador e do denominador e avaliamos o novo limite. Se continuar indeterminado, podemos aplicar de novo, desde que as hipóteses continuem válidas.
Passo 3
Aplicando l’Hôpital pela primeira vez a
calculamos as derivadas:
- derivada do numerador:
, - derivada do denominador:
.
Logo o limite passa a ser
Nota: avaliando em
obtemos
e
, então ainda é
. Podemos aplicar l’Hôpital novamente.
Passo 4
Aplicando l’Hôpital pela segunda vez ao limite
tomamos derivadas novamente:
- derivada do numerador:
, - derivada do denominador:
.
O limite torna-se
Avaliar em
dá
no numerador e
no denominador — ainda
. Podemos aplicar l’Hôpital mais uma vez.
Passo 5
Aplicando l’Hôpital pela terceira vez ao limite
calculamos as derivadas:
- derivada do numerador:
, - derivada do denominador:
.
Agora o limite é
Como
é contínua, podemos simplesmente substituir
:
Passo 6
Interpretação / checagem alternativa (útil para fixar a ideia): usando a série de Taylor (Maclaurin) de
em torno de
,
onde
denota termos que são de ordem muito menor que
quando
. Substituindo,
logo
Isso confirma o resultado obtido por l’Hôpital.