Pras seguintes funções
, faça um estudo do gráfico de
. Encontre o domínio de
, os zeros de
, a interseção com o eixo
, o comportamento assintótico de
, as assíntotas verticais de
(caso existam), os pontos críticos e a variaçao de
, os pontos de inflexão e a convexidade de
. Faça um esboço detalhado do gráfico de
.
,
Passo 1
O enunciado pede um estudo completo do gráfico da função
. As perguntas que temos que responder são:
- Qual é o domínio de
? - Quais são os zeros de
? - Qual é a interseção com o eixo
(valor de )? - Qual é o comportamento assintótico de
quando e existem assíntotas (horizontais/oblíquas/verticais)? - Existem assíntotas verticais? Se sim, quais?
- Quais são os pontos críticos de
e qual a variação (intervalos de crescimento/decrescimento)? (identificar máximos/minimos locais se houver) - Quais são os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade/convexidade?
- Fazer um esboço detalhado do gráfico de
.
Informações dadas: a função é
. Nada mais foi dado.
Passo 2
Domínio: o que é e como determinar para polinômios.
- Definição: o domínio de uma função são todos os
em que a expressão que define a função faz sentido (está bem definida). - Observação importante: polinômios são expressões como soma de potências de
com coeficientes reais; eles estão definidos para todo número real. - Aplicando isso: como
é um polinômio, ele está definido para todo .
Portanto:
Passo 3
Zeros de
: método de fatoração e interpretação.
- Para achar zeros, resolvemos
. - Escrevemos
- A equação
tem soluções quando ou . - A equação
tem soluções complexas , não reais. - Logo, o único zero real é
.
Em termos de ponto no plano: o único ponto onde a curva corta o eixoé .
Passo 4
Interseção com o eixo
:
- A interseção com o eixo
é o valor . - Calculamos
- Portanto o ponto de interseção com o eixo
é .
Observação: neste caso o zero e a interseção com o eixocoincidem no mesmo ponto.
Passo 5
Comportamento assintótico e existência de assíntotas (conceito e aplicação).
- Conceito rápido: assíntotas horizontais existem se
for finito; assíntotas oblíquas se se aproxima de uma reta quando ; assíntotas verticais aparecem onde a função explode (tende a ) em ponto finito por divisão por zero, etc. - Para polinômios de grau
não existem assíntotas verticais (são contínuos em todo ) nem assíntotas horizontais/obliquas simples que limitem o comportamento para infinito — o valor absoluto cresce sem bound. - Mais concretamente, para
o termo de maior grau é . Para grandes esse termo domina, então:
- Conclusão: não há assíntotas horizontais, nem oblíquas, nem verticais. A função cresce como um cúbico para grandes
.
Passo 6
Assíntotas verticais (checagem direta):
- Assíntotas verticais normalmente aparecem em funções racionais onde há divisão por zero num ponto. Aqui a função é polinomial, contínua em todo
. - Portanto não existem assíntotas verticais.
Passo 7
Derivada primeira: pontos críticos e monotonicidade (conceito + cálculo).
- Conceito: pontos críticos são pontos onde
ou não está definida. A derivada informa se a função cresce ( ) ou decresce ( ). - Calculamos a derivada:
- Resolvendo
:
sem solução real.
- Além disso
está definida para todo . - Como
para todo (soma de coisa não-negativa mais ), temos para todo . - Conclusões:
- Não há pontos críticos reais onde
. - A função é estritamente crescente em todo
. - Não existem máximos ou mínimos locais (porque não há mudança de sinal de
).
- Não há pontos críticos reais onde
Passo 8
Interpretação prática da monotonicidade e implicações para a prova.
- Como a função é estritamente crescente, qualquer valor
implica . - Isso garante unicidade do zero real (já visto): uma função estritamente crescente só pode cruzar o eixo
uma vez. - Em uma prova, se você mostrar
para todo , já conclui monotonicidade crescente global sem precisar testar intervalos.
Passo 9
Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão (conceito + cálculo).
- Conceito: derivada segunda
informa concavidade. Se a curva é côncava para cima (convexa); se é côncava para baixo (concava). Pontos de inflexão são onde muda de sinal (normalmente onde e há troca de concavidade). - Calculamos:
- Igualando a zero:
- Teste de sinal:
- Para
, então : concavidade para baixo. - Para
, então : concavidade para cima.
- Para
- Portanto
é um ponto de inflexão (há mudança de concavidade). O ponto correspondente na curva é . - Slope (declividade) nesse ponto:
. A reta tangente em é .
Passo 10
Simetria da função e pontos adicionais para esboço.
- Verificamos simetria:
- Logo
é função ímpar (simetria ímpar em relação à origem). - Isso nos diz que o gráfico é simétrico pela rotação de
em torno da origem: o ramo à direita é espelho (inverso de sinal) do ramo à esquerda. - Calculando alguns pontos úteis para desenhar:
-
. -
. -
. -
. -
. -
.
Esses pontos ajudam a posicionar a curva.
-
Passo 11
Esboço detalhado do gráfico (instruções passo a passo e desenho ASCII aproximado).
- Características para desenhar:
- Passa por
, único zero. - É estritamente crescente para todo
. - Concavidade: de
é côncava para baixo; de é côncava para cima. - Ponto de inflexão em
com tangente . - Cresce rapidamente para
(como ) e decresce rapidamente para . - Simetria ímpar: ramo esquerdo é imagem simétrica do direito por rotação de
.
- Passa por
- Montagem do esboço: marcar pontos
, , , , . Fazer uma curva suave que: - Vem de
no quadrante III, é côncava para baixo até a origem, - cruza a origem (inflection) com tangente
, - depois fica côncava para cima e sobe para
.
- Vem de
- Desenho ASCII aproximado (apenas para orientação — não é preciso ficar perfeito, mas mostra a ideia):\n
- Eixo
vertical, eixo horizontal. Pontos marcados (~ aproximados):
\n
y
\n
12 | *
\n
8 | *
\n
4 | *
\n
0 |-------------------------------- x
\n
-4 | *
\n
-8 | *
\n
-12 | *
\n
\n
Legenda rápida do ASCII: o * à direita crescente representaetc.; à esquerda os simétricos negativos. A curva passa pelo centro com o formato descrito acima.
- Eixo
- Dica para prova: desenhe os pontos-chave e a tangente
no ponto de inflexão; isso lhe dá o esqueleto do gráfico rapidamente.
Passo 12
Resumo das conclusões (pronto para memorizar e usar na prova):
- Domínio:
. - Zero real:
(com ponto ). - Interseção com eixo
: . - Assíntotas: não há assíntotas horizontais, oblíquas nem verticais; comportamento para infinito:
e . - Pontos críticos: nenhum (pois
para todo ). - Monotonicidade:
é estritamente crescente em . - Pontos de inflexão e concavidade:
tem zero em e a concavidade muda aí; concava para baixo em e para cima em . Ponto de inflexão em com reta tangente . - Simetria: função ímpar, simetria em relação à origem.
Resposta
Domínio:
.\n
Zeros: (único zero real), ponto
.\n
Interseção com eixo :
.\n
Comportamento assintótico: ,
; não há assíntotas horizontais/oblíquas/verticais.\n
Assíntotas verticais: nenhuma.\n
Pontos críticos e variação: para todo
, portanto não há pontos críticos reais e
é estritamente crescente em
.\n
Pontos de inflexão e convexidade: , ponto de inflexão em
(ponto
); concava para baixo em
e concava para cima em
.\n
Esboço (descrição): curva ímpar passando por , crescente em todo
, inflexão em
com tangente
; valores exemplares
,
,
,
.
Zeros:
Interseção com eixo
Comportamento assintótico:
Assíntotas verticais: nenhuma.\n
Pontos críticos e variação:
Pontos de inflexão e convexidade:
Esboço (descrição): curva ímpar passando por