Pras seguintes funções f(x), faça um estudo do gráfico de f. Encontre o domínio de f, os zeros de f, a interseção com o eixo y, o comportamento assintótico de f, as assíntotas verticais de f (caso existam), os pontos críticos e a variaçao de f, os pontos de inflexão e a convexidade de f. Faça um esboço detalhado do gráfico de f.
f(x)=x^{3}+x,

Passo 1

O enunciado pede um estudo completo do gráfico da função \,f(x)=x^{3}+x\,. As perguntas que temos que responder são:
  • Qual é o domínio de \,f?
  • Quais são os zeros de \,f?
  • Qual é a interseção com o eixo y (valor de \,f(0))?
  • Qual é o comportamento assintótico de \,f quando x\to\pm\infty e existem assíntotas (horizontais/oblíquas/verticais)?
  • Existem assíntotas verticais? Se sim, quais?
  • Quais são os pontos críticos de \,f e qual a variação (intervalos de crescimento/decrescimento)? (identificar máximos/minimos locais se houver)
  • Quais são os pontos de inflexão e os intervalos de concavidade/convexidade?
  • Fazer um esboço detalhado do gráfico de \,f.
Informações dadas: a função é \,f(x)=x^{3}+x\,. Nada mais foi dado.

Passo 2

Domínio: o que é e como determinar para polinômios.
  • Definição: o domínio de uma função são todos os x em que a expressão que define a função faz sentido (está bem definida).
  • Observação importante: polinômios são expressões como soma de potências de x com coeficientes reais; eles estão definidos para todo número real.
  • Aplicando isso: como \,f(x)=x^{3}+x\, é um polinômio, ele está definido para todo x\in\mathbb{R}.
    Portanto:
\text{Domínio}=\mathbb{R}.í

Passo 3

Zeros de \,f: método de fatoração e interpretação.
  • Para achar zeros, resolvemos \,f(x)=0.
  • Escrevemos
f(x)=x^{3}+x = x\,(x^{2}+1).
  • A equação x\,(x^{2}+1)=0 tem soluções quando x=0 ou x^{2}+1=0.
  • A equação x^{2}+1=0 tem soluções complexas x=\pm i, não reais.
  • Logo, o único zero real é \,x=0.
    Em termos de ponto no plano: o único ponto onde a curva corta o eixo x é (0,0).

Passo 4

Interseção com o eixo y:
  • A interseção com o eixo y é o valor f(0).
  • Calculamos
f(0)=0^{3}+0=0.
  • Portanto o ponto de interseção com o eixo y é (0,0).
    Observação: neste caso o zero e a interseção com o eixo y coincidem no mesmo ponto.

Passo 5

Comportamento assintótico e existência de assíntotas (conceito e aplicação).
  • Conceito rápido: assíntotas horizontais existem se \lim_{x\to\pm\infty} f(x) for finito; assíntotas oblíquas se f(x) se aproxima de uma reta ax+b quando x\to\pm\infty; assíntotas verticais aparecem onde a função explode (tende a \pm\infty) em ponto finito por divisão por zero, etc.
  • Para polinômios de grau \ge2 não existem assíntotas verticais (são contínuos em todo \mathbb{R}) nem assíntotas horizontais/obliquas simples que limitem o comportamento para infinito — o valor absoluto cresce sem bound.
  • Mais concretamente, para \,f(x)=x^{3}+x\, o termo de maior grau é x^{3}. Para grandes |x| esse termo domina, então:
\lim_{x\to+\infty} f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty} f(x)=-\infty.
  • Conclusão: não há assíntotas horizontais, nem oblíquas, nem verticais. A função cresce como um cúbico para grandes |x|.

Passo 6

Assíntotas verticais (checagem direta):
  • Assíntotas verticais normalmente aparecem em funções racionais onde há divisão por zero num ponto. Aqui a função é polinomial, contínua em todo \mathbb{R}.
  • Portanto não existem assíntotas verticais.

Passo 7

Derivada primeira: pontos críticos e monotonicidade (conceito + cálculo).
  • Conceito: pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou f'(x) não está definida. A derivada informa se a função cresce ( f'>0) ou decresce ( f'<0).
  • Calculamos a derivada:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{3}+x\bigr)=3x^{2}+1.
  • Resolvendo f'(x)=0:
3x^{2}+1=0 \quad\Rightarrow\quad x^{2}=-\tfrac{1}{3},
sem solução real.
  • Além disso f'(x) está definida para todo x\in\mathbb{R}.
  • Como 3x^{2}+1>0 para todo x (soma de coisa não-negativa mais 1), temos f'(x)>0 para todo x\in\mathbb{R}.
  • Conclusões:
    • Não há pontos críticos reais onde f'(x)=0.
    • A função é estritamente crescente em todo \mathbb{R}.
    • Não existem máximos ou mínimos locais (porque não há mudança de sinal de f').

Passo 8

Interpretação prática da monotonicidade e implicações para a prova.
  • Como a função é estritamente crescente, qualquer valor x_{1}<x_{2} implica f(x_{1})<f(x_{2}).
  • Isso garante unicidade do zero real (já visto): uma função estritamente crescente só pode cruzar o eixo x uma vez.
  • Em uma prova, se você mostrar f'(x)>0 para todo x, já conclui monotonicidade crescente global sem precisar testar intervalos.

Passo 9

Derivada segunda: concavidade e pontos de inflexão (conceito + cálculo).
  • Conceito: derivada segunda f''(x) informa concavidade. Se f''(x)>0 a curva é côncava para cima (convexa); se f''(x)<0 é côncava para baixo (concava). Pontos de inflexão são onde f'' muda de sinal (normalmente onde f''(x)=0 e há troca de concavidade).
  • Calculamos:
f''(x)=\frac{d}{dx}\bigl(3x^{2}+1\bigr)=6x.
  • Igualando a zero:
6x=0 \quad\Rightarrow\quad x=0.
  • Teste de sinal:
    • Para x<0, 6x<0 então f''(x)<0: concavidade para baixo.
    • Para x>0, 6x>0 então f''(x)>0: concavidade para cima.
  • Portanto x=0 é um ponto de inflexão (há mudança de concavidade). O ponto correspondente na curva é (0,0).
  • Slope (declividade) nesse ponto: f'(0)=3\cdot0^{2}+1=1. A reta tangente em (0,0) é y=x.

Passo 10

Simetria da função e pontos adicionais para esboço.
  • Verificamos simetria:
f(-x)=(-x)^{3}+(-x)=-x^{3}-x = -\bigl(x^{3}+x\bigr) = -f(x).
  • Logo \,f é função ímpar (simetria ímpar em relação à origem).
  • Isso nos diz que o gráfico é simétrico pela rotação de 180^\circ em torno da origem: o ramo à direita é espelho (inverso de sinal) do ramo à esquerda.
  • Calculando alguns pontos úteis para desenhar:
    • f(0)=0.
    • f(1)=1^{3}+1=2.
    • f(-1)=-2.
    • f(2)=8+2=10.
    • f(-2)=-10.
    • f\bigl(\tfrac12\bigr)=\tfrac{1}{8}+\tfrac{1}{2}=\tfrac{5}{8}=0{,}625.
      Esses pontos ajudam a posicionar a curva.

Passo 11

Esboço detalhado do gráfico (instruções passo a passo e desenho ASCII aproximado).
  • Características para desenhar:
    1. Passa por (0,0), único zero.
    2. É estritamente crescente para todo x.
    3. Concavidade: de (-\infty,0) é côncava para baixo; de (0,+\infty) é côncava para cima.
    4. Ponto de inflexão em (0,0) com tangente y=x.
    5. Cresce rapidamente para x\to+\infty (como x^{3}) e decresce rapidamente para x\to-\infty.
    6. Simetria ímpar: ramo esquerdo é imagem simétrica do direito por rotação de 180^\circ.
  • Montagem do esboço: marcar pontos (-2,-10), (-1,-2), (0,0), (1,2), (2,10). Fazer uma curva suave que:
    • Vem de -\infty no quadrante III, é côncava para baixo até a origem,
    • cruza a origem (inflection) com tangente y=x,
    • depois fica côncava para cima e sobe para +\infty.
  • Desenho ASCII aproximado (apenas para orientação — não é preciso ficar perfeito, mas mostra a ideia):\n
    • Eixo y vertical, eixo x horizontal. Pontos marcados (~ aproximados):
      \n
      y
      \n
      12 | *
      \n
      8 | *
      \n
      4 | *
      \n
      0 |-------------------------------- x
      \n
      -4 | *
      \n
      -8 | *
      \n
      -12 | *
      \n
      \n
      Legenda rápida do ASCII: o * à direita crescente representa (1,2),(2,10) etc.; à esquerda os simétricos negativos. A curva passa pelo centro (0,0) com o formato descrito acima.
  • Dica para prova: desenhe os pontos-chave e a tangente y=x no ponto de inflexão; isso lhe dá o esqueleto do gráfico rapidamente.

Passo 12

Resumo das conclusões (pronto para memorizar e usar na prova):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Zero real: x=0 (com ponto (0,0)).
  • Interseção com eixo y: (0,0).
  • Assíntotas: não há assíntotas horizontais, oblíquas nem verticais; comportamento para infinito: \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty e \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.
  • Pontos críticos: nenhum (pois f'(x)=3x^{2}+1>0 para todo x).
  • Monotonicidade: \,f é estritamente crescente em (-\infty,\infty).
  • Pontos de inflexão e concavidade: f''(x)=6x tem zero em x=0 e a concavidade muda aí; concava para baixo em (-\infty,0) e para cima em (0,\infty). Ponto de inflexão em (0,0) com reta tangente y=x.
  • Simetria: função ímpar, simetria em relação à origem.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}.\n
Zeros: x=0 (único zero real), ponto (0,0).\n
Interseção com eixo y: (0,0).\n
Comportamento assintótico: \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty; não há assíntotas horizontais/oblíquas/verticais.\n
Assíntotas verticais: nenhuma.\n
Pontos críticos e variação: f'(x)=3x^{2}+1>0 para todo x, portanto não há pontos críticos reais e f é estritamente crescente em (-\infty,\infty).\n
Pontos de inflexão e convexidade: f''(x)=6x, ponto de inflexão em x=0 (ponto (0,0)); concava para baixo em (-\infty,0) e concava para cima em (0,\infty).\n
Esboço (descrição): curva ímpar passando por (0,0), crescente em todo \mathbb{R}, inflexão em (0,0) com tangente y=x; valores exemplares f(1)=2, f(-1)=-2, f(2)=10, f(-2)=-10.

Exercícios relacionados