Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln (x)}{\sqrt{x}}\,},

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}.
Informações dadas:
\text{numerador: }\ln(x)\to\infty\quad\text{quando }x\to\infty,
\text{denominador: }\sqrt{x}\to\infty\quad\text{quando }x\to\infty.
Portanto a expressão tem forma indeterminada do tipo \infty/\infty.

Passo 2

Quando temos uma forma indeterminada \infty/\infty, uma ferramenta útil é a Regra de l’Hôpital. Vou explicar rapidinho o que ela diz de forma simples: se \,f(x)\to\infty e \,g(x)\to\infty quando x\to a (ou a=\infty), e f e g são diferenciáveis perto de a com g'(x)\neq0, então, se o limite
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}
existe (ou é \pm\infty), vale
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui podemos aplicar porque \ln(x) e \sqrt{x} são diferenciáveis para x>0.

Passo 3

Vou calcular as derivadas que precisamos:
derivada do numerador \ln(x) é
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x}.
derivada do denominador \sqrt{x}=x^{1/2} é, usando a regra da potência,
\frac{d}{dx}x^{1/2}=\frac{1}{2}x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}.
Expliquei: para x^{p}, a derivada é p x^{p-1}; aqui p=\tfrac12.

Passo 4

Aplicando a Regra de l’Hôpital, o limite original passa a ser o limite das derivadas:
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\tfrac{1}{x}}{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}.
Agora simplifico essa fração passo a passo:
\frac{\tfrac{1}{x}}{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}=\frac{1}{x}\cdot\frac{2\sqrt{x}}{1}=2\cdot\frac{\sqrt{x}}{x}.
Como \sqrt{x}=x^{1/2}, temos \dfrac{\sqrt{x}}{x}=x^{-1/2}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}. Portanto
\frac{\tfrac{1}{x}}{\tfrac{1}{2\sqrt{x}}}=2\cdot\frac{1}{\sqrt{x}}=\frac{2}{\sqrt{x}}.

Passo 5

Agora calculo o limite mais simples:
\lim_{x\to\infty}\frac{2}{\sqrt{x}}.
Como \sqrt{x}\to\infty quando x\to\infty, o quociente \dfrac{2}{\sqrt{x}} tende a 0. Para ver isso de forma um pouco mais rigorosa: dado \varepsilon>0, escolha X=\left(\dfrac{2}{\varepsilon}\right)^{2}. Para todo x>X temos \sqrt{x}>\dfrac{2}{\varepsilon}, logo \dfrac{2}{\sqrt{x}}<\varepsilon. Isso mostra que o limite vale 0.

Passo 6

Pelo que fizemos com l’Hôpital e pela conclusão do passo anterior, obtemos
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{\sqrt{x}}=0.
Comentário útil: esse resultado é um exemplo do fato geral de que funções logaritmo crescem muito mais devagar que qualquer potência positiva de x. Ou seja, para todo a>0,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln(x)}{x^{a}}=0,
e a prova é feita de maneira análoga (aplicando l’Hôpital repetidas vezes ou usando a substituição x=e^{t}).

Resposta

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