Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
Portanto a expressão tem forma indeterminada do tipo
.
Passo 2
Quando temos uma forma indeterminada
, uma ferramenta útil é a Regra de l’Hôpital. Vou explicar rapidinho o que ela diz de forma simples: se
e
quando
(ou
), e
e
são diferenciáveis perto de
com
, então, se o limite
existe (ou é
), vale
Aqui podemos aplicar porque
e
são diferenciáveis para
.
Passo 3
Vou calcular as derivadas que precisamos:
derivada do numerador é
derivada do numerador
derivada do denominador
é, usando a regra da potência,
Expliquei: para
, a derivada é
; aqui
.
Passo 4
Aplicando a Regra de l’Hôpital, o limite original passa a ser o limite das derivadas:
Agora simplifico essa fração passo a passo:
Como
, temos
. Portanto
Passo 5
Agora calculo o limite mais simples:
Como
quando
, o quociente
tende a
. Para ver isso de forma um pouco mais rigorosa: dado
, escolha
. Para todo
temos
, logo
. Isso mostra que o limite vale
.
Passo 6
Pelo que fizemos com l’Hôpital e pela conclusão do passo anterior, obtemos
Comentário útil: esse resultado é um exemplo do fato geral de que funções logaritmo crescem muito mais devagar que qualquer potência positiva de
. Ou seja, para todo
,
e a prova é feita de maneira análoga (aplicando l’Hôpital repetidas vezes ou usando a substituição
).