Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}\,},

Passo 1

O enunciado pede calcular o seguinte limite quando x tende a 0:
\lim_{x\to 0} \frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função envolvida é \operatorname{sen}(x) (seno).
  • O ponto de aproximação é x=0.
  • Queremos o limite bilateral (tanto por x\to0^+ quanto por x\to0^-) da expressão \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}.

Passo 2

Fazemos uma manipulação algébrica simples para separar fatores cujo comportamento conhecemos:
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{x^{2}}.
Isto é útil porque o limite de \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} quando x\to0 é um limite clássico que conhecemos, e \dfrac{1}{x^{2}} tem comportamento claro ao se aproximar de 0.

Passo 3

Estudamos o primeiro fator \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}.
Afirmação clássica:
\lim_{x\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1.
Explicação didática (prova via desigualdades geométricas / teorema do sanduíche): para 0<x<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade
\cos x < \frac{\operatorname{sen}(x)}{x} < 1,
obtida a partir de \operatorname{sen}x < x < \tan x (esta última vindo de considerações geométricas de círculo trigonométrico) e reescrevendo \tan x=\dfrac{\operatorname{sen}x}{\cos x}. Como \lim_{x\to0}\cos x=1, pelo teorema do sanduíche temos \lim_{x\to0}\dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}=1. Para x<0 a mesma conclusão vale por simetria (função seno ímpar). Portanto o primeiro fator tende para 1.

Passo 4

Estudamos o segundo fator \dfrac{1}{x^{2}}.
Observação: \dfrac{1}{x^{2}} é sempre não negativa e, quando x se aproxima de 0, o denominador fica muito pequeno em módulo, portanto o quociente cresce sem limite. Formalmente, para qualquer M>0 podemos escolher \delta=\dfrac{1}{\sqrt{M}}; se 0<|x|<\delta então
\frac{1}{x^{2}}>M.
Isto mostra que
\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=+\infty.
Note que o limite é +\infty (positivo) porque x^{2} é sempre \ge 0.

Passo 5

Agora combinamos os dois resultados. Temos
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{x^{2}}.
Sabemos que \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}\to 1 e \dfrac{1}{x^{2}}\to+\infty. Para justificar que o produto tende a +\infty, usamos que \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x} fica próximo de 1 para x suficientemente pequeno; por exemplo, existe \delta>0 tal que, se 0<|x|<\delta, então \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x}>\tfrac{1}{2}. Assim para esses x
\frac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}=\frac{\operatorname{sen}(x)}{x}\cdot\frac{1}{x^{2}}>\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}}.
Como \dfrac{1}{x^{2}}\to+\infty, o lado direito tende a +\infty, logo o produto também tende a +\infty. Portanto o limite bilateral é +\infty.

Passo 6

Comentário extra (opcional e curto): usando desenvolvimento em série de Taylor temos \operatorname{sen}(x)=x-\dfrac{x^{3}}{6}+o(x^{3}), então \dfrac{\operatorname{sen}(x)}{x^{3}}=\dfrac{1}{x^{2}}-\dfrac{1}{6}+o(1), que também mostra crescimento sem limite quando x\to0.

Resposta

+\infty

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