Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede calcular o seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função envolvida é
(seno). - O ponto de aproximação é
. - Queremos o limite bilateral (tanto por
quanto por ) da expressão .
Passo 2
Fazemos uma manipulação algébrica simples para separar fatores cujo comportamento conhecemos:
Isto é útil porque o limite de
quando
é um limite clássico que conhecemos, e
tem comportamento claro ao se aproximar de
.
Passo 3
Estudamos o primeiro fator
.
Afirmação clássica:
Afirmação clássica:
Explicação didática (prova via desigualdades geométricas / teorema do sanduíche): para
vale a desigualdade
obtida a partir de
(esta última vindo de considerações geométricas de círculo trigonométrico) e reescrevendo
. Como
, pelo teorema do sanduíche temos
. Para
a mesma conclusão vale por simetria (função seno ímpar). Portanto o primeiro fator tende para
.
Passo 4
Estudamos o segundo fator
.
Observação: é sempre não negativa e, quando
se aproxima de
, o denominador fica muito pequeno em módulo, portanto o quociente cresce sem limite. Formalmente, para qualquer
podemos escolher
; se
então
Observação:
Isto mostra que
Note que o limite é
(positivo) porque
é sempre
.
Passo 5
Agora combinamos os dois resultados. Temos
Sabemos que
e
. Para justificar que o produto tende a
, usamos que
fica próximo de
para
suficientemente pequeno; por exemplo, existe
tal que, se
, então
. Assim para esses
Como
, o lado direito tende a
, logo o produto também tende a
. Portanto o limite bilateral é
.
Passo 6
Comentário extra (opcional e curto): usando desenvolvimento em série de Taylor temos
, então
, que também mostra crescimento sem limite quando
.