Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow a} \frac{\sqrt{a-x}+\sqrt{a}-\sqrt{x}}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}\

Passo 1

O enunciado pede
L = \lim_{x\to a}\frac{\sqrt{a - x} + \sqrt{a} - \sqrt{x}}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}},
que é um caso de forma indeterminada \tfrac{0}{0}. O conteúdo aqui é cálculo de limite via manipulações algébricas (racionalização e fatoração) para eliminar a indeterminação.

Passo 2

Verificamos a indeterminação ao substituir x=a:
\text{numerador} = \sqrt{a-a} + \sqrt{a} - \sqrt{a} = 0, \quad \text{denominador} = \sqrt{a^2 - a^2} = 0.
Portanto temos 0/0.

Passo 3

Observe que
\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{(a - x)(a + x)} = \sqrt{a - x}\,\sqrt{a + x}.
Assim
L = \lim_{x\to a} \frac{\sqrt{a - x} + \bigl(\sqrt{a}-\sqrt{x}\bigr)} {\sqrt{a - x}\,\sqrt{a + x}}.

Passo 4

Racionalizamos \sqrt{a}-\sqrt{x} usando
\sqrt{a}-\sqrt{x} = \frac{a - x}{\sqrt{a} + \sqrt{x}},
logo o numerador fica
\sqrt{a - x} + \frac{a - x}{\sqrt{a} + \sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{a - x})(\sqrt{a} + \sqrt{x}) + (a - x)}{\sqrt{a} + \sqrt{x}}.
Mas note que a - x = (\sqrt{a - x})^2. Então
(\sqrt{a - x})(\sqrt{a} + \sqrt{x}) + (a - x) = \sqrt{a - x}\,\sqrt{a} + \sqrt{a - x}\,\sqrt{x} + (\sqrt{a - x})^2 = (\sqrt{a - x})(\sqrt{a} + \sqrt{x} + \sqrt{a - x}).
Logo
L = \lim_{x\to a} \frac{(\sqrt{a - x})(\sqrt{a} + \sqrt{x} + \sqrt{a - x})} {(\sqrt{a} + \sqrt{x})\,\sqrt{a - x}\,\sqrt{a + x}} = \lim_{x\to a} \frac{\sqrt{a} + \sqrt{x} + \sqrt{a - x}} {(\sqrt{a} + \sqrt{x})\,\sqrt{a + x}}.

Passo 5

Agora fazemos x\to a. Temos \sqrt{x}\to\sqrt{a}, \sqrt{a - x}\to0, \sqrt{a+x}\to\sqrt{2a}.
Então
L = \frac{\sqrt{a} + \sqrt{a} + 0} {(\sqrt{a} + \sqrt{a})\,\sqrt{2a}} = \frac{2\sqrt{a}}{(2\sqrt{a})\,\sqrt{2a}} = \frac{1}{\sqrt{2a}}.

Resposta

\boxed{\frac{1}{\sqrt{2a}}}

Exercícios relacionados