Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{\sqrt[5]{2 x^{5}-1}-1}\

Passo 1

O problema pede que calculemos
L = \lim_{x\to1} \frac{x^2 - 1}{\sqrt[5]{2x^5 - 1} - 1}.
Ao substituir x=1 no numerador temos 1^2 - 1 = 0 e no denominador \sqrt[5]{2\cdot1^5 -1} -1 = 1 - 1 = 0. Portanto, estamos diante de uma forma indeterminada \tfrac{0}{0} e podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Definimos
f(x) = x^2 - 1, \quad g(x) = \sqrt[5]{2x^5 - 1} - 1 = (2x^5 - 1)^{1/5} - 1.
Calculamos as derivadas:
f'(x) = 2x, \quad g'(x) = \frac{1}{5}(2x^5 - 1)^{-4/5}\cdot(10x^4) = 2x^4\,(2x^5 - 1)^{-4/5}.

Passo 3

Pela Regra de L’Hôpital,
L = \lim_{x\to1} \frac{f'(x)}{g'(x)} = \lim_{x\to1} \frac{2x}{2x^4\,(2x^5 - 1)^{-4/5}} = \lim_{x\to1} \frac{x}{x^4}\,(2x^5 - 1)^{4/5} = \lim_{x\to1} x^{-3}\,(2x^5 - 1)^{4/5}.

Passo 4

Agora basta substituir x=1:
L = 1^{-3}\,(2\cdot1^5 - 1)^{4/5} = 1 \cdot 1^{4/5} = 1.

Resposta

1

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