Questão
: Seja
(a) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem de
;
(b) Determine o vetor gradiente
;
(c) Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
. Essa é a direção de máxima variação?
“Não deseje que as coisas sejam mais fáceis, deseje que você seja melhor!”
(a) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem de
(b) Determine o vetor gradiente
(c) Calcule a derivada direcional de
“Não deseje que as coisas sejam mais fáceis, deseje que você seja melhor!”
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) Calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem de
. - (b) Determinar o vetor gradiente
. - (c) Calcular a derivada direcional de
no ponto na direção do vetor e responder se essa é a direção de máxima variação.
Informações relevantes fornecidas:
o ponto
é
(observe que
exige
, e
está OK),
e o vetor direção é (mais adiante verificamos se já é unitário).
e o vetor direção é
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Relembrando duas regras importantes que usarei:
- Regra do produto:
. - Regra da cadeia:
; .
Começando por
. A função tem três termos:
-
: aplicando produto e cadeia, -
: não depende de , derivada é , -
: pela cadeia .
Detalhando o primeiro termo:
Somando o terceiro termo obtemos
Passo 3
Agora
. Novamente termo a termo:
-
não depende de → derivada . -
: usar produto ou lembrar a forma; derivada é (porque ). -
: .
Portanto
Passo 4
Agora as derivadas parciais de segunda ordem. Começo por
.
Temos
Derivando o primeiro termo em
: uso produto entre
e
.
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Portanto a derivada do primeiro termo é
Derivando o segundo termo
em
:
é constante aqui, então
Assim
(Se quiser fatorar:
.)
Passo 5
Agora
.
Partimos de
O primeiro termo não depende de
, então sua derivada em
é
. Para
usamos produto:
Logo
Passo 6
Calculo
.
Lembrando
Derivada de
é
. Para
,
é constante ao derivar em
, e
. Então:
Portanto
Passo 7
Checagem rápida da simetria dos mistas:
calculando a partir de
também dá
ou seja, os mistas coincidem; isso é esperado quando as segundas derivadas são contínuas (teorema de Clairaut).
Passo 8
Agora (b): vetor gradiente
é o vetor das derivadas parciais de primeira ordem:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 9
Parte (c): derivada direcional no ponto
na direção de
.
Primeiro verifico se
já é unitário: norma
Portanto
é um vetor unitário
, e a derivada direcional é dada por
Calculo
. Usando as fórmulas:
Logo
.
Fazendo o produto escalar com
:
Então a derivada direcional vale
.
Passo 10
Resta responder: essa é a direção de máxima variação?
Teorema útil (explicação curta): a derivada direcional máxima num ponto ocorre ao longo da direção do gradiente
e o valor máximo é
. Portanto a direção de máxima variação no ponto
é a direção do vetor
(ou seja, o vetor unitário
), e o valor máximo é
Como a derivada direcional que encontramos na direção de
foi
, que é menor que
, concluímos que
não é a direção de máxima variação.
Resposta
(a)
(b)
(c)
Não,
não é a direção de máxima variação (a direção de máxima variação é dada por
, cujo valor máximo é
).