Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt[3]{4 x^{5}-3}-1}{3 x^{2}-x-2}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to1}\frac{\sqrt[3]{4x^{5}-3}-1}{3x^{2}-x-2}
quando x\to1. Note que temos uma forma indeterminada 0/0, então vamos usar a técnica de racionalização de raiz cúbica para simplificar.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada fazendo x=1 diretamente: \sqrt[3]{4\cdot1^{5}-3}-1=\sqrt[3]{1}-1=0 e 3\cdot1^{2}-1-2=0.
Logo, é de fato 0/0.

Passo 3

Racionalizamos o numerador multiplicando e dividindo por (\sqrt[3]{4x^{5}-3})^{2}+\sqrt[3]{4x^{5}-3}+1. Assim:
\frac{\sqrt[3]{4x^{5}-3}-1}{3x^{2}-x-2} \;\cdot\; \frac{(\sqrt[3]{4x^{5}-3})^{2}+\sqrt[3]{4x^{5}-3}+1} {(\sqrt[3]{4x^{5}-3})^{2}+\sqrt[3]{4x^{5}-3}+1} = \frac{4x^{5}-4}{(3x^{2}-x-2)\bigl((\sqrt[3]{4x^{5}-3})^{2}+\sqrt[3]{4x^{5}-3}+1\bigr)}.

Passo 4

Fatoramos 4x^{5}-4=4(x^{5}-1) e 3x^{2}-x-2=(3x+2)(x-1). Também x^{5}-1=(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1).
Substituindo e cancelando x-1, obtemos
\frac{4(x-1)(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)} {(3x+2)(x-1)\bigl((\sqrt[3]{4x^{5}-3})^{2}+\sqrt[3]{4x^{5}-3}+1\bigr)} = \frac{4\,(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)} {(3x+2)\bigl((\sqrt[3]{4x^{5}-3})^{2}+\sqrt[3]{4x^{5}-3}+1\bigr)}.

Passo 5

Agora basta avaliar em x=1. Temos x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=5, 3x+2=5 e \sqrt[3]{4x^{5}-3}\bigl|_{x=1}=1 implica (\sqrt[3]{4x^{5}-3})^{2}+\sqrt[3]{4x^{5}-3}+1=3.
Portanto o valor do limite é
\frac{4\cdot5}{5\cdot3}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}

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