Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{2}-5 x+6}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3 x-5}}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to3}\frac{x^{2}-5x+6}{\sqrt{x+1}-\sqrt{3x-5}}.
O conteúdo aqui envolve limites com forma indeterminada \tfrac{0}{0} e a técnica de racionalização de denominador.

Passo 2

Primeiro tentamos a substituição direta em x=3:
o numerador fica
3^{2}-5\cdot3+6 = 9-15+6 = 0,
e o denominador fica
\sqrt{3+1}-\sqrt{3\cdot3-5} = 2-2 = 0.
Logo temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então vamos racionalizar o denominador.

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador pela conjugada \sqrt{x+1}+\sqrt{3x-5}, obtendo
\frac{(x^{2}-5x+6)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{3x-5}\bigr)}{(\sqrt{x+1}-\sqrt{3x-5})(\sqrt{x+1}+\sqrt{3x-5})} =\frac{(x^{2}-5x+6)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{3x-5}\bigr)}{(x+1)-(3x-5)}.

Passo 4

Observe que
x^{2}-5x+6 = (x-2)(x-3) \quad\text{e}\quad (x+1)-(3x-5) = -2x+6 = -2(x-3).
Assim o quociente vira
\frac{(x-2)(x-3)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{3x-5}\bigr)}{-2(x-3)}
e podemos cancelar o fator (x-3) (para x\neq3), restando
\frac{(x-2)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{3x-5}\bigr)}{-2}.

Passo 5

Agora substituímos x=3 sem gerar indeterminação:
\frac{(3-2)\bigl(\sqrt{4}+\sqrt{4}\bigr)}{-2} =\frac{1\cdot(2+2)}{-2} =\frac{4}{-2} =-2.

Resposta

-2

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