Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow-3} \frac{x^{2}+2 x-3}{x+1+\sqrt[3]{x^{2}-1}}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to -3}\frac{x^{2}+2x-3}{\,x+1+\sqrt[3]{x^{2}-1}\,}.
O conteúdo principal aqui é cálculo de limite indeterminado do tipo \tfrac{0}{0}, que podemos tratar com a regra de L’Hôpital, desde que verifiquemos as hipóteses.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada fazendo substituição direta x=-3:
\text{numerador} = (-3)^{2}+2(-3)-3 = 9 -6 -3 = 0,
\text{denominador} = -3+1 + \sqrt[3]{(-3)^{2}-1} = -2 + \sqrt[3]{8} = -2 + 2 = 0.
Logo é \tfrac{0}{0}.

Passo 3

As funções
f(x)=x^{2}+2x-3 \quad\text{e}\quad g(x)=x+1+\sqrt[3]{x^{2}-1}
são diferenciáveis em torno de x=-3 e g'(x)\neq 0 perto de -3, então podemos aplicar L’Hôpital:
\lim_{x\to -3}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to -3}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Passo 4

Calculamos as derivadas:
f'(x)=2x+2,
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x+1\bigr) +\frac{d}{dx}\bigl((x^{2}-1)^{1/3}\bigr) =1+\frac{1}{3}(x^{2}-1)^{-2/3}\cdot 2x =1+\frac{2x}{3\,(x^{2}-1)^{2/3}}.

Passo 5

Agora avaliamos em x=-3:
f'(-3)=2(-3)+2=-6+2=-4,
g'(-3)=1+\frac{2(-3)}{3\,(9-1)^{2/3}} =1-\frac{6}{3\cdot 8^{2/3}} =1-\frac{6}{3\cdot 4} =1-\tfrac{6}{12} =1-\tfrac12 =\tfrac12.
Portanto, pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to -3}\frac{f(x)}{g(x)} =\frac{f'(-3)}{g'(-3)} =\frac{-4}{\tfrac12} =-8.

Resposta

-8

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