Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 t g^{2} x}{x^{2}} (Use o limite trigonométrico fundamental)
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x}=1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{2\;\tan^{2}x}{x^{2}}.
Foi dada a informação (o limite trigonométrico fundamental)
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1.
Anotação importante: aqui usei \tan x para a função tangente; a expressão original estava escrita com “tg”, que é a mesma coisa.

Passo 2

Vamos reescrever \tan x em termos de \sin x e \cos x. Sabemos que
\tan x=\frac{\sin x}{\cos x},
portanto
\tan^{2}x=\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}.

Passo 3

Substituindo em \dfrac{2\tan^{2}x}{x^{2}} obtemos
\frac{2\tan^{2}x}{x^{2}}=\frac{2\sin^{2}x}{x^{2}\cos^{2}x}.
Agrupando termos úteis:
\frac{2\sin^{2}x}{x^{2}\cos^{2}x} =2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\cdot\frac{1}{\cos^{2}x}.

Passo 4

Usamos agora propriedades de limites e continuidade:
  1. Pela hipótese dada,
\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1,
logo
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}=1^{2}=1,
pois a função u\mapsto u^{2} é contínua.
  1. A função \cos x é contínua e \cos 0=1, então
\lim_{x\to 0}\cos x=1\quad\Rightarrow\quad \lim_{x\to 0}\cos^{2}x=1^{2}=1,
e portanto
\lim_{x\to 0}\frac{1}{\cos^{2}x}=\frac{1}{1}=1.

Passo 5

Aplicando que o limite do produto é o produto dos limites (quando existem), obtemos
\lim_{x\to 0}2\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{2}\cdot\frac{1}{\cos^{2}x} =2\cdot 1\cdot 1=2.

Resposta

2

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