Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(\frac{x-3}{x+2}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(\frac{x-3}{x+2}\Bigr)^{x}.
Este é um caso de forma indeterminada 1^\infty, então vamos usar transformação logarítmica e expansão em série de Taylor para resolver.

Passo 2

Defina
y = \Bigl(\frac{x-3}{x+2}\Bigr)^{x}.
Tomando logaritmo natural, obtemos
\ln y = x \,\ln\!\Bigl(\frac{x-3}{x+2}\Bigr).

Passo 3

Escrevemos a base como
\frac{x-3}{x+2} = \frac{x\bigl(1 - \tfrac{3}{x}\bigr)}{x\bigl(1 + \tfrac{2}{x}\bigr)} = \frac{1 - 3/x}{1 + 2/x},
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\ln y = x\Bigl[\ln(1 - 3/x) - \ln(1 + 2/x)\Bigr].

Passo 4

Usamos a expansão de Taylor
\ln(1+u)=u-\frac{u^2}{2}+o(u^2),
para u=-3/x e para u=2/x. Assim:
\ln(1 - 3/x) = -\frac{3}{x} - \frac{1}{2}\,\frac{9}{x^2} + o(1/x^2), \quad \ln(1 + 2/x) = \frac{2}{x} - \frac{1}{2}\,\frac{4}{x^2} + o(1/x^2).

Passo 5

Subtraindo,
\ln(1 - 3/x)-\ln(1 + 2/x) = -\frac{3}{x}-\frac{2}{x} +\Bigl(-\tfrac{9}{2}+2\Bigr)\frac{1}{x^2}+o(1/x^2) = -\frac{5}{x}-\frac{5}{2x^2}+o(1/x^2).

Passo 6

Multiplicando por x,
\ln y = x\Bigl(-\tfrac{5}{x}-\tfrac{5}{2x^2}+o(1/x^2)\Bigr) = -5 - \frac{5}{2x} + o(1/x).
Quando x\to -\infty, os termos -5/(2x) e o(1/x) vão a zero, ficando
\lim_{x\to -\infty}\ln y = -5.

Passo 7

Seja L=\lim_{x\to -\infty}y. Temos \ln L=-5, portanto
L = e^{-5}.

Resposta

e^{-5}

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