Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x-1}.
Isso é um caso de forma indeterminada 0/0, pois ao substituir x=1 tanto o numerador quanto o denominador valem zero. Vamos usar fatoração de polinômio para simplificar a expressão e depois avaliar o limite.

Passo 2

Observe o numerador x^{3}+x^{2}-x-1. Podemos agrupar termos ou usar a fatoração por raízes conhecidas. Note que x=1 é raiz do polinômio, logo (x-1) é fator. Fatorando por agrupamento:
x^{3}+x^{2}-x-1 = (x^3 -1) + (x^2 - x) = (x-1)(x^2 + x +1) + x(x-1) = (x-1)\bigl(x^2+x+1 + x\bigr) = (x-1)(x^2 +2x +1).
E x^2 +2x +1 = (x+1)^2. Assim
x^{3}+x^{2}-x-1 = (x-1)(x+1)^2.

Passo 3

Substituindo a fatoração na razão, temos
\frac{x^{3}+x^{2}-x-1}{x-1} = \frac{(x-1)(x+1)^2}{x-1}.
Podemos cancelar o fator (x-1) (válido para x\neq1), ficando
(x+1)^2.
Agora basta avaliar em x=1:
(1+1)^2 = 2^2 = 4.

Resposta

O valor do limite é 4.

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