Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-4} f(x)
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)
f(x)=\left\{\begin{array}{l}5 x+1, x \leq-4 \\\\ 19,-4 \leq x<0 \\\ x^{2}+1, x \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 5x+1, & x\le -4,\\\\ 19, & -4< x<0,\\\ x^2+1, & x\ge 0, \end{cases}
e pede os limites \lim_{x\to -4}f(x) e \lim_{x\to 0}f(x). Vamos usar o fato de que, para existir o limite em um ponto, as duas aproximações laterais devem coincidir.

Passo 2

Calcular \lim_{x\to -4}f(x):
a) Pela esquerda, x< -4, vale f(x)=5x+1, então
\lim_{x\to -4^-}f(x) =\lim_{x\to -4^-}(5x+1) =5\cdot(-4)+1=-20+1=-19.
b) Pela direita, -4<x<0, vale f(x)=19, logo
\lim_{x\to -4^+}f(x)=19.
Como -19\neq 19, o limite bidirecional não existe.

Passo 3

Calcular \lim_{x\to 0}f(x):
a) Pela esquerda, -4<x<0, vale f(x)=19, então
\lim_{x\to 0^-}f(x)=19.
b) Pela direita, x>0, vale f(x)=x^2+1, logo
\lim_{x\to 0^+}f(x) =\lim_{x\to 0^+}(x^2+1) =0^2+1=1.
Como 19\neq 1, o limite bidirecional não existe.

Resposta

\lim_{x\to -4}f(x) não existe. \lim_{x\to 0}f(x) não existe.

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