Solucionar os seguintes problemas usando o método SIMPLEX. Apresentar todos os passos até chegar na solução ótima (se for o caso).
Maximizar a função F=4 x_{1}+x_{2} sujeita a:
\begin{aligned} 2 x_{1}+3 x_{2} & \leq A \\\\ 2 x_{1}+x_{2} & \leq 8 \\\ x_{1}, x_{2} & \geq 0 \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método Simplex, o programa linear
Maximizar
F = 4x_{1} + x_{2}
sujeito a
\begin{aligned} 2x_{1} + 3x_{2} &\le A,\\\\ 2x_{1} + x_{2} &\le 8,\\\ x_{1},x_{2} &\ge 0. \end{aligned}
O conteúdo é Programação Linear e vamos aplicar o Simplex em forma padrão, introduzindo variáveis de folga.

Passo 2

Passamos para a forma padrão adicionando s_{1},s_{2}\ge0:
\begin{cases} 2x_{1} + 3x_{2} + s_{1} = A,\\\\ 2x_{1} + x_{2} + s_{2} = 8,\\\ x_{1},x_{2},s_{1},s_{2}\ge0. \end{cases}

Passo 3

Montamos a tabela inicial do Simplex:
\begin{array}{c|cccc|c} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & \mathrm{RHS}\\hline \text{Z} & -4 & -1 & 0 & 0 & 0\\\ s_{1} & 2 & 3 & 1 & 0 & A\\\ s_{2} & 2 & 1 & 0 & 1 & 8 \end{array}

Passo 4

O coeficiente mais negativo na linha Z é -4 em x_{1}, logo x_{1} entra na base. Fazemos o teste de razão:
\frac{A}{2},\quad \frac{8}{2}=4.
Se \tfrac{A}{2}\le4 (isto é, A\le8), pivotamos na linha de s_{1}. Caso contrário A>8, pivotamos na linha de s_{2}. Isso gera dois cenários.

Passo 5

Caso 1: A\le8
Pivotamos em (s_{1},x_{1}).
  • Normalizamos a linha 1: \bigl[2\;3\;1\;0\;\bigm|\;A\bigr]\div2 = [1\;\tfrac32\;\tfrac12\;0\;\bigm|\;\tfrac{A}{2}].
  • Zeramos x_{1} na linha 2 e na Z:
    linha 2 ← linha 2 − 2\times(nova linha 1),
    Z ← Z +4\times(nova linha 1).
    A tabela fica
\begin{array}{c|cccc|c} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & \mathrm{RHS}\\hline \text{Z} & 0 & 5 & 2 & 0 & 2A\\\ x_{1} & 1 & \tfrac32 & \tfrac12 & 0 & \tfrac{A}{2}\\\ s_{2} & 0 & -2 & -1 & 1 & 8 - A \end{array}
Agora os coeficientes C_{j}-Z_{j} para as variáveis originais são
x_{1}:\;4-0=4\quad(\text{básica}),\qquad x_{2}:\;1-5=-4\;<0.á
Nenhum C_{j}-Z_{j} positivo em x_{2}, logo chegamos à solução ótima neste caso:
x_{1}=\frac{A}{2},\quad x_{2}=0,\quad F_{\max}=2A.

Passo 6

Caso 2: A>8
Pivotamos em (s_{2},x_{1}).
  • Normalizamos a linha 2: \bigl[2\;1\;0\;1\;\bigm|\;8\bigr]\div2 = [1\;\tfrac12\;0\;\tfrac12\;\bigm|\;4].
  • Zeramos x_{1} na linha 1 e na Z:
    linha 1 ← linha 1 − 2\times(nova linha 2),
    Z ← Z +4\times(nova linha 2).
    Fica
\begin{array}{c|cccc|c} & x_{1} & x_{2} & s_{1} & s_{2} & \mathrm{RHS}\\hline \text{Z} & 0 & 1 & 0 & 2 & 16\\\ s_{1} & 0 & 2 & 1 & -1 & A-8\\\ x_{1} & 1 & \tfrac12 & 0 & \tfrac12 & 4 \end{array}
Calculamos C_{j}-Z_{j} para variáveis originais:
x_{1}:\;4-0=4\quad(\text{básica}),\qquad x_{2}:\;1-1=0\le0.á
Não há coeficiente positivo em x_{2}, então é ótimo. A solução é
x_{1}=4,\quad x_{2}=0,\quad F_{\max}=16.

Resposta

Se A\le8:
x_{1}=\frac{A}{2},\quad x_{2}=0,\quad F_{\max}=2A.
Se A>8:
x_{1}=4,\quad x_{2}=0,\quad F_{\max}=16.

Exercícios relacionados