Exercício 19. Determine os limites infinitos
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{f(x)-f(1)}{x-1} onde
f(x)=\left\{\begin{array}{c} 3 x-1 \text { se } x \geq 1 \\\ x^{2} \text { se } x<1 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases} 3x-1, & x\ge1,\\\ x^2, & x<1, \end{cases}
e pede o limite
\lim_{x\to1^-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}.
Vamos usar a definição de f em cada ramo para montar o quociente.

Passo 2

Como 1 pertence ao ramo x\ge1, temos
f(1)=3\cdot1-1=2.

Passo 3

Para x<1 (aproximando pela esquerda) vale f(x)=x^2. Logo o quociente vira
\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^2-2}{x-1}.

Passo 4

Reescrevendo o numerador para separar o termo singular, temos
x^2-2=(x^2-1)-1=(x-1)(x+1)-1,
então
\frac{x^2-2}{x-1} =(x+1)-\frac{1}{x-1}.

Passo 5

Ao fazer x\to1^-:
  • x+1\to2.
  • \dfrac{1}{x-1} com x-1 negativo e tendendo a zero dá -\infty, então -\dfrac{1}{x-1}\to+\infty.
Portanto
\lim_{x\to1^-}\frac{x^2-2}{x-1}=2+(+\infty)=+\infty.

Resposta

+\infty

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