Exercício 19. Determine os limites infinitos
\lim _{x \rightarrow 1^{-}} \frac{1}{x^{3}-1} e \lim _{x \rightarrow 1^{+}} \frac{1}{x^{3}-1}

Passo 1

O enunciado pede para determinar os limites infinitos \displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x^3-1} e \displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x^3-1}.
O conteúdo é análise de limite em ponto onde o denominador se anula, gerando assim uma assíntota vertical.

Passo 2

Para entender o comportamento de \frac{1}{x^3-1} perto de x=1, fatoramos o denominador:
x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1).
Note que para todo x\in\mathbb{R} temos x^2+x+1>0. Portanto, o sinal de x^3-1 é o mesmo de (x-1).

Passo 3

Quando x\to1^-, isto é, x<1 se aproximando de 1, temos x-1<0. Logo
x^3-1\;\to\;0^-\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{x^3-1}\;\to\;-\infty.
Quando x\to1^+, isto é, x>1 se aproximando de 1, temos x-1>0. Logo
x^3-1\;\to\;0^+\quad\Longrightarrow\quad\frac{1}{x^3-1}\;\to\;+\infty.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{1}{x^3-1}=-\infty \displaystyle \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x^3-1}=+\infty

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