Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{4}-3 x+2}{x^{5}-4 x+3}\

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{4}-3x+2}{x^{5}-4x+3}.
Isso é um caso de forma indeterminada 0/0, pois ao substituir x=1 obtemos numerador e denominador iguais a zero. Para resolver vamos usar fatoração pelo fator comum x-1.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada substituindo x=1:
1^{4}-3\cdot1+2=0, \quad 1^{5}-4\cdot1+3=0.
Logo é \tfrac{0}{0}, e podemos dividir numerador e denominador por x-1.

Passo 3

Fatoramos o numerador dividindo x^{4}-3x+2 por x-1. Pela divisão sintética obtemos:
x^{4}-3x+2=(x-1)\bigl(x^{3}+x^{2}+x-2\bigr).

Passo 4

Fatoramos o denominador dividindo x^{5}-4x+3 por x-1. A divisão sintética dá:
x^{5}-4x+3=(x-1)\bigl(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-3\bigr).

Passo 5

Cancelamos o fator comum x-1 e escrevemos o limite da função simplificada:
\lim_{x\to1}\frac{x^{4}-3x+2}{x^{5}-4x+3} =\lim_{x\to1}\frac{x^{3}+x^{2}+x-2}{x^{4}+x^{3}+x^{2}+x-3}.

Passo 6

Agora basta substituir x=1 na expressão simplificada:
numerador:
1^{3}+1^{2}+1-2=1,
denominador:
1^{4}+1^{3}+1^{2}+1-3=1.
Portanto o limite é
\frac{1}{1}=1.

Resposta

O valor do limite é 1.

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