Calcule os seguintes limites.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite lateral
Informações explícitas que temos:
- A função exponencial
é contínua em todo . - O denominador é
, que tende a quando .
A pergunta é: qual é o comportamento da razão quandose aproxima de pela esquerda (valores menores que )?
Passo 2
Fazemos a substituição padrão para estudar comportamentos perto de
. Defina
Quando
isso equivale a
(ou seja,
é um número negativo que tende a zero). Reescrevendo a expressão em função de
temos
Passo 3
Estude o fator
quando
. Pelo fato de
ser contínua e
, vale
Uma maneira intuitiva de ver isso é desenvolver
pela série de Taylor em torno de
:
portanto quando
os termos além de
desaparecem e
fica muito próximo de
. Em particular, para
suficientemente pequeno,
é positivo e está limitado por constantes (por exemplo, entre
e
).
Passo 4
Agora examine o fator
quando
. Como
, o cubo mantém o sinal negativo, ou seja
. Além disso
, então
e o módulo
cresce sem limite quando
. Em palavras:
é um número negativo cujo valor absoluto tende a
quando
.
Passo 5
Juntando os fatores na expressão reescrita:
Aqui
é uma constante positiva finita e
tende a
e permanece positiva e limitada perto de
. O comportamento dominante vem de
, que, como vimos, é negativo e tem módulo que tende a
. Assim o produto é um número negativo cujo módulo cresce sem limite quando
. Em termos não simbólicos: a fração assume valores arbitrariamente negativos ao aproximar
de
pela esquerda.
Passo 6
Observação útil para a prova: a determinação do sinal veio do fato de o expoente no denominador ser ímpar. Se fosse
(expoente par), o denominador seria positivo próximo de
(exceto no próprio
), e o limite tenderia a
(já que o numerador é positivo). Para expoente ímpar o sinal do denominador acompanha o sinal de
.
Passo 7
Resumo do raciocínio que vale decorar para a prova: faça a substituição
, verifique que o numerador tende para uma constante positiva (
), que o fator exponencial extra tende a
, e que o comportamento extremo vem do
(paridade do expoente determina o sinal; aqui ímpar → sinal negativo). Isso permite concluir rapidamente o tipo de divergência.