Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow 5^{-}} \frac{e^{x}}{(x-5)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite lateral
\lim_{x\to 5^-} \frac{e^{x}}{(x-5)^{3}}.
Informações explícitas que temos:
  • A função exponencial e^{x} é contínua em todo \mathbb{R}.
  • O denominador é (x-5)^{3}, que tende a 0 quando x\to5.
    A pergunta é: qual é o comportamento da razão quando x se aproxima de 5 pela esquerda (valores menores que 5)?

Passo 2

Fazemos a substituição padrão para estudar comportamentos perto de 5. Defina
h = x-5.
Quando x\to5^{-} isso equivale a h\to0^{-} (ou seja, h é um número negativo que tende a zero). Reescrevendo a expressão em função de h temos
\frac{e^{x}}{(x-5)^{3}}=\frac{e^{5+h}}{h^{3}}=e^{5}\cdot\frac{e^{h}}{h^{3}}.

Passo 3

Estude o fator e^{h} quando h\to0^{-}. Pelo fato de e^{t} ser contínua e e^{0}=1, vale
\lim_{h\to0} e^{h}=1.
Uma maneira intuitiva de ver isso é desenvolver e^{h} pela série de Taylor em torno de 0:
e^{h}=1+h+\frac{h^{2}}{2}+\cdots,
portanto quando h\to0 os termos além de 1 desaparecem e e^{h} fica muito próximo de 1. Em particular, para h suficientemente pequeno, e^{h} é positivo e está limitado por constantes (por exemplo, entre 1/2 e 2).

Passo 4

Agora examine o fator \dfrac{1}{h^{3}} quando h\to0^{-}. Como h<0, o cubo mantém o sinal negativo, ou seja h^{3}<0. Além disso |h^{3}|=|h|^{3}\to0^{+}, então
\frac{1}{h^{3}}=-\frac{1}{|h|^{3}}
e o módulo \dfrac{1}{|h|^{3}} cresce sem limite quando |h|\to0^{+}. Em palavras: \dfrac{1}{h^{3}} é um número negativo cujo valor absoluto tende a +\infty quando h\to0^{-}.

Passo 5

Juntando os fatores na expressão reescrita:
e^{5}\cdot\frac{e^{h}}{h^{3}}.
Aqui e^{5} é uma constante positiva finita e e^{h} tende a 1 e permanece positiva e limitada perto de 0. O comportamento dominante vem de \dfrac{1}{h^{3}}, que, como vimos, é negativo e tem módulo que tende a +\infty. Assim o produto é um número negativo cujo módulo cresce sem limite quando h\to0^{-}. Em termos não simbólicos: a fração assume valores arbitrariamente negativos ao aproximar x de 5 pela esquerda.

Passo 6

Observação útil para a prova: a determinação do sinal veio do fato de o expoente no denominador ser ímpar. Se fosse (x-5)^{2} (expoente par), o denominador seria positivo próximo de 5 (exceto no próprio 5), e o limite tenderia a +\infty (já que o numerador é positivo). Para expoente ímpar o sinal do denominador acompanha o sinal de x-5.

Passo 7

Resumo do raciocínio que vale decorar para a prova: faça a substituição h=x-5, verifique que o numerador tende para uma constante positiva ( e^{5}), que o fator exponencial extra tende a 1, e que o comportamento extremo vem do 1/h^{3} (paridade do expoente determina o sinal; aqui ímpar → sinal negativo). Isso permite concluir rapidamente o tipo de divergência.

Resposta

-\infty

Exercícios relacionados