e pede para encontrar, se existir, o valor do limite
\lim_{x\to2}\frac{g(x)}{h(x)}.
As informações relevantes que temos aqui são os três limites quando x\to2, em particular que o limite do numerador é -2 (não nulo) e o limite do denominador é 0.
Passo 2
Lembrete de uma regra útil sobre limites de quociente (aqui explico como funcionaria na prova): se
Essa regra exige explicitamente que o limite do denominador M seja diferente de zero. No nosso caso temos \lim_{x\to2}h(x)=0, portanto NÃO podemos aplicar essa regra direta e não podemos concluir que o limite do quociente seja \dfrac{-2}{0} (essa expressão não é um número definido).
Passo 3
Agora vou mostrar por que, quando o numerador tende a um número não nulo e o denominador tende a zero, o quociente não pode ter um limite finito. A ideia é mostrar que a magnitude do quociente fica arbitrariamente grande perto de x=2.
Como \lim_{x\to2}g(x)=-2, existe \delta_1>0 tal que para 0<|x-2|<\delta_1 vale
|g(x)+2|<1\quad\Rightarrow\quad |g(x)|>1.
Como \lim_{x\to2}h(x)=0, para qualquer M>0 existe \delta_2>0 tal que para 0<|x-2|<\delta_2 vale
|h(x)|<\frac{1}{M}.
Tomando \delta=\min(\delta_1,\delta_2), para 0<|x-2|<\delta temos
Isso mostra que para qualquer M>0 podemos encontrar pontos arbitrariamente próximos de 2 onde |g(x)/h(x)|>M. Em palavras: o quociente fica arbitrariamente grande em módulo quando x se aproxima de 2. Portanto o limite não pode ser um número finito.
Passo 4
Ainda falta decidir se o limite diverge para +\infty, para -\infty, ou se não existe mesmo como infinito. Isso depende do sinal e do comportamento de h(x) ao se aproximar de 2:
Se h(x) aproximar-se de 0 sempre pelo lado positivo (isto é, h(x)>0 para x suficientemente próximo de 2), então \dfrac{g(x)}{h(x)} tende para -\infty porque g(x) está próximo de -2 (negativo) e divide-se por quantidades positivas cada vez menores.
Se h(x) aproximar-se de 0 sempre pelo lado negativo, então \dfrac{g(x)}{h(x)} tende para +\infty.
Se o sinal de h(x) muda à volta de 2 (por exemplo, h(x)=x-2), então as aproximações pela direita e pela esquerda dão sinais opostos e a limite bilateral não existe nem mesmo como infinito (ex.: com g(x)\equiv-2 e h(x)=x-2 tem-se \lim_{x\to2^-}g(x)/h(x)=+\infty e \lim_{x\to2^+}g(x)/h(x)=-\infty).
Portanto, com as informações fornecidas (apenas os limites das funções), não é possível afirmar um valor único para \lim_{x\to2} \dfrac{g(x)}{h(x)}: sabemos apenas que não pode ser um número finito e que o comportamento preciso (divergir para +\infty, para -\infty ou não ter limite bilateral) depende de como h(x) se aproxima de zero.
Passo 5
Conclusão prática para a prova: como \lim_{x\to2}g(x)=-2\neq0 e \lim_{x\to2}h(x)=0, o limite \lim_{x\to2}\dfrac{g(x)}{h(x)} não existe como número real finito. Sem informação adicional sobre o sinal/comportamento de h(x) perto de 2 não se pode afirmar nem mesmo se o quociente diverge para +\infty ou para -\infty; pode ainda não existir mesmo como infinito (caso os lados direito e esquerdo divergam para sinais opostos).