Dado que
\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=4, \quad \lim _{x \rightarrow 2} g(x)=-2, \quad \lim _{x \rightarrow 2} h(x)=0
encontre, se existir, o limite dado em cada item. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{g(x)}{h(x)}

Passo 1

O enunciado fornece os limites
\lim_{x\to2} f(x)=4,\qquad \lim_{x\to2} g(x)=-2,\qquad \lim_{x\to2} h(x)=0
e pede para encontrar, se existir, o valor do limite
\lim_{x\to2}\frac{g(x)}{h(x)}.
As informações relevantes que temos aqui são os três limites quando x\to2, em particular que o limite do numerador é -2 (não nulo) e o limite do denominador é 0.

Passo 2

Lembrete de uma regra útil sobre limites de quociente (aqui explico como funcionaria na prova): se
\lim_{x\to a} g(x)=L\qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to a} h(x)=M
e M\neq0, então vale a regra do quociente
\lim_{x\to a}\frac{g(x)}{h(x)}=\frac{L}{M}.
Essa regra exige explicitamente que o limite do denominador M seja diferente de zero. No nosso caso temos \lim_{x\to2}h(x)=0, portanto NÃO podemos aplicar essa regra direta e não podemos concluir que o limite do quociente seja \dfrac{-2}{0} (essa expressão não é um número definido).

Passo 3

Agora vou mostrar por que, quando o numerador tende a um número não nulo e o denominador tende a zero, o quociente não pode ter um limite finito. A ideia é mostrar que a magnitude do quociente fica arbitrariamente grande perto de x=2.
Como \lim_{x\to2}g(x)=-2, existe \delta_1>0 tal que para 0<|x-2|<\delta_1 vale
|g(x)+2|<1\quad\Rightarrow\quad |g(x)|>1.
Como \lim_{x\to2}h(x)=0, para qualquer M>0 existe \delta_2>0 tal que para 0<|x-2|<\delta_2 vale
|h(x)|<\frac{1}{M}.
Tomando \delta=\min(\delta_1,\delta_2), para 0<|x-2|<\delta temos
\left|\frac{g(x)}{h(x)}\right|=\frac{|g(x)|}{|h(x)|}>\frac{1}{|h(x)|}>M.
Isso mostra que para qualquer M>0 podemos encontrar pontos arbitrariamente próximos de 2 onde |g(x)/h(x)|>M. Em palavras: o quociente fica arbitrariamente grande em módulo quando x se aproxima de 2. Portanto o limite não pode ser um número finito.

Passo 4

Ainda falta decidir se o limite diverge para +\infty, para -\infty, ou se não existe mesmo como infinito. Isso depende do sinal e do comportamento de h(x) ao se aproximar de 2:
  • Se h(x) aproximar-se de 0 sempre pelo lado positivo (isto é, h(x)>0 para x suficientemente próximo de 2), então \dfrac{g(x)}{h(x)} tende para -\infty porque g(x) está próximo de -2 (negativo) e divide-se por quantidades positivas cada vez menores.
  • Se h(x) aproximar-se de 0 sempre pelo lado negativo, então \dfrac{g(x)}{h(x)} tende para +\infty.
  • Se o sinal de h(x) muda à volta de 2 (por exemplo, h(x)=x-2), então as aproximações pela direita e pela esquerda dão sinais opostos e a limite bilateral não existe nem mesmo como infinito (ex.: com g(x)\equiv-2 e h(x)=x-2 tem-se \lim_{x\to2^-}g(x)/h(x)=+\infty e \lim_{x\to2^+}g(x)/h(x)=-\infty).
Portanto, com as informações fornecidas (apenas os limites das funções), não é possível afirmar um valor único para \lim_{x\to2} \dfrac{g(x)}{h(x)}: sabemos apenas que não pode ser um número finito e que o comportamento preciso (divergir para +\infty, para -\infty ou não ter limite bilateral) depende de como h(x) se aproxima de zero.

Passo 5

Conclusão prática para a prova: como \lim_{x\to2}g(x)=-2\neq0 e \lim_{x\to2}h(x)=0, o limite \lim_{x\to2}\dfrac{g(x)}{h(x)} não existe como número real finito. Sem informação adicional sobre o sinal/comportamento de h(x) perto de 2 não se pode afirmar nem mesmo se o quociente diverge para +\infty ou para -\infty; pode ainda não existir mesmo como infinito (caso os lados direito e esquerdo divergam para sinais opostos).

Resposta

Não existe.

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