Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a expressão \lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty:
  • Explicar, com palavras simples, o que essa expressão significa.
  • Escrever a versão matemática precisa (definição formal) dessa afirmação.
  • Dar um exemplo de função que satisfaça essa condição.
Informações dadas: apenas a expressão \lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty. Não há restrição extra sobre o domínio de f além de que ela deve estar definida para x suficientemente grande (por exemplo, em algum intervalo (A,+\infty)).

Passo 2

Significado informal (com palavras): a expressão \lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty diz que, à medida que x cresce cada vez mais para a direita (vai para +\infty), os valores de f(x) caem sem limite para baixo — isto é, ficam cada vez mais negativos e passam por qualquer número negativo que você escolha. Em linguagem de sala de aula: para qualquer linha horizontal que você desenhe (por exemplo y=-1000 ou y=10), ao caminhar para a direita o gráfico de f acaba ficando sempre abaixo dessa linha.
Observação intuitiva prática: isso não significa que f(x) atinge um valor finito no fim (não existe “valor” final); significa que f(x) não tem limite real e vai para -\infty.

Passo 3

Definição matemática precisa (formal): a frase \lim_{x\to+\infty} f(x) = -\infty significa exatamente o seguinte:
\text{Para todo }M\in\mathbb{R}\text{ existe }X\in\mathbb{R}\text{ tal que, para todo }x>X\text{ com }x\text{ no domínio de }f,\text{ vale }f(x)<M.í
Aqui cada símbolo significa:
  • M é um número real arbitrário (pode ser 100, -10, -1000, qualquer real).
  • X é um ponto da reta (um limite em x) que depende de M.
  • A condição “para todo x>X” quer dizer: para todos os x suficientemente grandes (à direita de X), a desigualdade f(x)<M se mantém.
    A ordem dos quantificadores é importante: primeiro o adversário (quem escolhe M), depois o construtor (que acha X).

Passo 4

Explicação passo a passo da definição (para você aplicar na prova):
  1. O avaliador te dá um número M. Esse M representa uma linha horizontal onde queres que o gráfico fique abaixo. Não importa se M é positivo, zero ou negativo.
  2. Você tem que mostrar que existe um ponto X (possivelmente dependente de M) tal que para todo x>X a desigualdade f(x)<M vale.
  3. Se conseguir fazer isso para qualquer M que o avaliador escolher, então \lim_{x\to+\infty} f(x)=-\infty está provado.
Dica prática: para provar a condição, normalmente isola-se x da desigualdade f(x)<M (ou compara-se com uma função cujo comportamento seja conhecido) e escolhe-se X explicitamente em função de M.

Passo 5

Exemplo simples e verificação passo a passo: f(x) = -x.
Queremos mostrar que \lim_{x\to+\infty} (-x) = -\infty usando a definição.
Tomemos um M\in\mathbb{R} arbitrário. Seja
X := -M.
Se x>X então x>-M. Multiplicando por -1 e invertendo a desigualdade obtemos -x < M. Mas -x = f(x). Logo, para todo x>X temos f(x)<M. Como isso vale para todo M escolhido, pela definição formal concluímos que
\lim_{x\to+\infty} (-x) = -\infty.
Observação: a escolha de X=-M foi direta e elementar — esse tipo de escolha é o que se pede na prova.

Passo 6

Outro exemplo (um pouco mais elaborado): f(x) = -e^{x}.
Prova usando a definição:
  • Seja M\in\mathbb{R} qualquer.
  • Se M\ge 0, então para todo x vale f(x)=-e^{x}\le -1 < 0 \le M, logo f(x)<M já para todo x. Basta escolher qualquer X (por exemplo X=0).
  • Se M<0, então -M>0. Tome X := \ln(-M).Se x>X então e^{x} > e^{X} = -M, portanto -e^{x} < M. Assim para todo x>X vale f(x)<M.
    Em ambos os casos existe X com a propriedade desejada, logo \lim_{x\to+\infty}(-e^{x}) = -\infty.

Passo 7

Observações úteis e erros comuns (pra te ajudar na prova):
  • A afirmação não requer que f seja monotônica; basta que eventualmente f(x) fique arbitrariamente baixo. Por exemplo, f(x) = -x + \sin x também satisfaz a condição (porque \sin x é limitado e -x domina).
  • Não confunda “tender a -\infty” com “tender a um número finito”: aqui o limite não é um número real.
  • Tampouco é o mesmo que “não ter limite”: por exemplo f(x)=\sin x não tem limite quando x\to+\infty (porque oscila), e isso é diferente de “tender a -\infty”.
  • Em provas, sempre exponha claramente: (i) seja M arbitrário; (ii) escolha X em função de M; (iii) mostre que x>X\Rightarrow f(x)<M.

Resposta

Significado em palavras: ao ir para a direita ( x\to+\infty), os valores de f(x) caem sem limite, ficando eventualmente menores que qualquer número real escolhido.
Definição matemática precisa:
\forall M\in\mathbb{R}\\ \exists X\in\mathbb{R}\\ \text{tal que}\\ \forall x>X\\ \text{(no domínio de }f)\\ \Rightarrow\\ f(x)<M.í
Exemplos de funções que satisfazem a condição:
f(x)=-x, \qquad f(x)=-e^{x}, \qquad f(x)=-x+\sin x.

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