Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede-se explicar o significado da expressão
. - Pedem-se três coisas: (i) explicação em palavras; (ii) enunciado matemático preciso; (iii) um exemplo de função que satisfaça essa condição.
Passo 2
Explicação intuitiva (em palavras, com jeitinho de amigo):
A expressão diz que, à medida que
cresce sem parar (vai para
), os valores de
também crescem sem parar — não há um teto: para qualquer número grande que você escolher, se for olhar
para
suficientemente grande,
vai ficar maior que esse número. Ou seja,
torna-se arbitrariamente grande quando
é grande o bastante.
A expressão
Passo 3
Enunciado matemático preciso (definição formal) e explicação dos símbolos:
A definição formal é:
A definição formal é:
Explicando os quantificadores e variáveis:
-
é qualquer número real positivo que eu escolher (pensar: “quão grande eu quero que seja?”). - Dizer “para todo
” significa que a propriedade deve valer para qualquer escolha de um número positivo, por maior que seja. - Para cada
existe um (dependendo de ) que marca a partir de qual ponto é suficientemente grande. - A frase “para todo
” significa que todos os maiores que esse têm a propriedade desejada. - A desigualdade
diz que, a partir de , todos os valores de excedem .
Observação importante (diferença sutil): “
é não limitada superiormente” (ex.: tem valores arbitrariamente grandes em alguma sequência de
) não é suficiente: é preciso que, depois de um certo ponto
, TODOS os
maiores que
tornem
maiores que
. Em outras palavras, a função deve permanecer acima de
continuamente para
suficientemente grandes, não apenas atingir valores grandes em pontos esparsos.
Passo 4
Exemplo simples e prova passo a passo:
.
Queremos verificar a definição: dado , proponho escolher
. Então, para todo
temos
, e portanto
Queremos verificar a definição: dado
Isso prova que, para qualquer
, existe
(escolhido como
) tal que, se
, então
. Logo
.
Passo 5
Outro exemplo:
.
Dado , basta escolher
. Para todo
temos
, então
. Assim
satisfaz a definição e
.
Dado
Passo 6
Exemplo exponencial:
.
Dado , uma escolha conveniente é
. Para
temos
(quando
) e então
. Se
já vale
para qualquer
. Logo
também satisfaz
.
Dado
Passo 7
Dica prática de prova (na hora da prova):
- Para funções polinomiais principais, use comparação direta (por exemplo,
para ). - Para funções exponenciais, use logaritmo para resolver
. - Para razões ou funções com termos que tendem a constantes, compare com funções que se sabe divergem.
- Lembre-se do ponto sutil: é preciso encontrar um
que funcione para TODO ; não basta encontrar uma sequência com .
Resposta
Significado em palavras: à medida que
cresce sem limite,
cresce sem limite; para qualquer
existe
tal que, para todo
,
.
Definição matemática precisa:
Definição matemática precisa:
Exemplo que satisfaz:
(prova: dado
tomar
implica
).