Explique, com suas palavras, os significados de cada uma das equações abaixo e escreva o significado matemático preciso de cada expressão. Em cada caso, dê um exemplo de uma função que satisfaça a condição dada.
\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede-se explicar o significado da expressão \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty.
  • Pedem-se três coisas: (i) explicação em palavras; (ii) enunciado matemático preciso; (iii) um exemplo de função que satisfaça essa condição.

Passo 2

Explicação intuitiva (em palavras, com jeitinho de amigo):
A expressão \lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty diz que, à medida que x cresce sem parar (vai para +\infty), os valores de f(x) também crescem sem parar — não há um teto: para qualquer número grande que você escolher, se for olhar f(x) para x suficientemente grande, f(x) vai ficar maior que esse número. Ou seja, f(x) torna-se arbitrariamente grande quando x é grande o bastante.

Passo 3

Enunciado matemático preciso (definição formal) e explicação dos símbolos:
A definição formal é:
\text{Para todo }M>0\text{ existe }X\in\mathbb{R}\text{ tal que, para todo }x>X,\; f(x)>M.
Explicando os quantificadores e variáveis:
  • M>0 é qualquer número real positivo que eu escolher (pensar: “quão grande eu quero que f seja?”).
  • Dizer “para todo M>0” significa que a propriedade deve valer para qualquer escolha de um número positivo, por maior que seja.
  • Para cada M existe um X (dependendo de M) que marca a partir de qual ponto x é suficientemente grande.
  • A frase “para todo x>X” significa que todos os x maiores que esse X têm a propriedade desejada.
  • A desigualdade f(x)>M diz que, a partir de X, todos os valores de f(x) excedem M.
Observação importante (diferença sutil): “ f é não limitada superiormente” (ex.: tem valores arbitrariamente grandes em alguma sequência de x) não é suficiente: é preciso que, depois de um certo ponto X, TODOS os x maiores que X tornem f(x) maiores que M. Em outras palavras, a função deve permanecer acima de M continuamente para x suficientemente grandes, não apenas atingir valores grandes em pontos esparsos.

Passo 4

Exemplo simples e prova passo a passo: f(x)=x.
Queremos verificar a definição: dado M>0, proponho escolher X=M. Então, para todo x>X temos x>M, e portanto
f(x)=x>M.
Isso prova que, para qualquer M, existe X (escolhido como X=M) tal que, se x>X, então f(x)>M. Logo \lim_{x\to +\infty} x = +\infty.

Passo 5

Outro exemplo: f(x)=x^{2}.
Dado M>0, basta escolher X=\sqrt{M}. Para todo x>X temos x>\sqrt{M}, então x^{2}>M. Assim f(x)=x^{2} satisfaz a definição e \lim_{x\to +\infty} x^{2}=+\infty.

Passo 6

Exemplo exponencial: f(x)=e^{x}.
Dado M>0, uma escolha conveniente é X=\max\{0,\ln M\}. Para x>X temos x>\ln M (quando M>1) e então e^{x}>e^{\ln M}=M. Se 0<M\le 1 já vale e^{x}\ge e^{0}=1>M para qualquer x\ge 0. Logo e^{x} também satisfaz \lim_{x\to +\infty} e^{x}=+\infty.

Passo 7

Dica prática de prova (na hora da prova):
  • Para funções polinomiais principais, use comparação direta (por exemplo, x^{2}\ge x para x\ge1).
  • Para funções exponenciais, use logaritmo para resolver e^{x}>M.
  • Para razões ou funções com termos que tendem a constantes, compare com funções que se sabe divergem.
  • Lembre-se do ponto sutil: é preciso encontrar um X que funcione para TODO x>X; não basta encontrar uma sequência x_{n}\to\infty com f(x_{n})\to\infty.

Resposta

Significado em palavras: à medida que x cresce sem limite, f(x) cresce sem limite; para qualquer M>0 existe X tal que, para todo x>X, f(x)>M.
Definição matemática precisa:
\forall M>0\\ \exists X\in\mathbb{R}\\ \text{tal que}\\ \forall x>X,\\ f(x)>M.
Exemplo que satisfaz: f(x)=x (prova: dado M>0 tomar X=M implica x>X\Rightarrow f(x)=x>M).

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