1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{3 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{2^{3x}-1}{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função no numerador é 2^{3x}.
  • O limite é quando x tende a 0.
  • É uma única pergunta: encontrar o valor do limite.

Passo 2

Uma identidade útil (que vou usar) é que qualquer potência com base positiva pode ser escrita com a base e:
2^{3x}=e^{3x\ln 2},
onde \ln 2 é o logaritmo natural de 2. Essa transformação é útil porque o comportamento de e^t quando t\to 0 é bem conhecido.

Passo 3

Faço a substituição na expressão do limite:
\frac{2^{3x}-1}{x}=\frac{e^{3x\ln 2}-1}{x}.
Agora defino u=3x\ln 2. Quando x\to 0 temos u\to 0. Reescrevo a fração separando fatores:
\frac{e^{3x\ln 2}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\frac{u}{x}.
Como u=3x\ln 2, tem-se
\frac{u}{x}=3\ln 2,
portanto
\frac{e^{3x\ln 2}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{u}\cdot 3\ln 2.

Passo 4

Agora uso o fato fundamental sobre a exponencial: quando u\to 0,
\frac{e^{u}-1}{u}\to 1.
Justificação simples: pela série de Taylor de e^{u} em torno de 0,
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\cdots,
logo
\frac{e^{u}-1}{u}=1+\frac{u}{2!}+\frac{u^{2}}{3!}+\cdots\to 1\quad\text{quando }u\to 0.
Aplicando isso ao produto obtido no passo anterior, ao passar para o limite temos
\lim_{x\to 0}\frac{e^{3x\ln 2}-1}{x}=\left(\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}\right)\cdot 3\ln 2=1\cdot 3\ln 2.

Passo 5

Conclusão: o limite pedido é
3\ln 2.
Como exemplo adicional rápido: de maneira análoga,
\lim_{x\to 0}\frac{a^{kx}-1}{x}=k\ln a,
para qualquer a>0 e constante k.

Resposta

3\ln 2

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