- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A função no numerador é
. - O limite é quando
tende a . - É uma única pergunta: encontrar o valor do limite.
Passo 2
Uma identidade útil (que vou usar) é que qualquer potência com base positiva pode ser escrita com a base
:
onde
é o logaritmo natural de
. Essa transformação é útil porque o comportamento de
quando
é bem conhecido.
Passo 3
Faço a substituição na expressão do limite:
Agora defino
. Quando
temos
. Reescrevo a fração separando fatores:
Como
, tem-se
portanto
Passo 4
Agora uso o fato fundamental sobre a exponencial: quando
,
Justificação simples: pela série de Taylor de
em torno de
,
logo
Aplicando isso ao produto obtido no passo anterior, ao passar para o limite temos
Passo 5
Conclusão: o limite pedido é
Como exemplo adicional rápido: de maneira análoga,
para qualquer
e constante
.