1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{7 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{7x}-1}{x}.
Informações dadas: a expressão envolve a função exponencial e^{7x} e a variável x tende a 0. A pergunta é: qual o valor numérico desse limite?

Passo 2

Idéia principal (sem resolver ainda): usar uma mudança de variável para transformar a expressão num limite padrão conhecido. Faço a substituição
t = 7x.
Com isso, quando x \rightarrow 0 temos t \rightarrow 0, e também x = \dfrac{t}{7}. Reescrevo a expressão do limite em termos de t:
\frac{e^{7x}-1}{x} = \frac{e^{t}-1}{t/7}.

Passo 3

Simplifico a fração obtida em t. Como dividir por t/7 é multiplicar por 7/t, segue
\frac{e^{t}-1}{t/7} = 7\cdot\frac{e^{t}-1}{t}.
Portanto
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{7x}-1}{x} = 7\cdot \lim_{t\rightarrow 0} \frac{e^{t}-1}{t}.

Passo 4

Agora preciso do valor de \lim_{t\rightarrow 0} \dfrac{e^{t}-1}{t}. Vou explicar por que esse limite vale 1 de forma direta e elementar.
Uma definição muito útil da função exponencial é a sua série de Taylor centrada em 0:
e^{t} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{t^{n}}{n!} = 1 + t + \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{3}}{6} + \cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por t obtemos
\frac{e^{t}-1}{t} = 1 + \frac{t}{2} + \frac{t^{2}}{6} + \cdots.
Cada termo da soma a partir de \dfrac{t}{2} contém t em alguma potência positiva, então quando t \rightarrow 0 esses termos tendem a 0. Logo
\lim_{t\rightarrow 0} \frac{e^{t}-1}{t} = 1.
(Observação rápida: outra forma de ver isso é notar que a derivada de e^{x} em 0 é 1, e essa derivada é exatamente o limite \lim_{t\to0}\dfrac{e^{t}-1}{t}.)

Passo 5

Voltando ao limite original e usando o resultado do passo anterior:
\lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{7x}-1}{x} = 7\cdot \lim_{t\rightarrow 0} \frac{e^{t}-1}{t} = 7\cdot 1 = 7.

Resposta

7

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