- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão envolve a função exponencial
e a variável
tende a
. A pergunta é: qual o valor numérico desse limite?
Passo 2
Idéia principal (sem resolver ainda): usar uma mudança de variável para transformar a expressão num limite padrão conhecido. Faço a substituição
Com isso, quando
temos
, e também
. Reescrevo a expressão do limite em termos de
:
Passo 3
Simplifico a fração obtida em
. Como dividir por
é multiplicar por
, segue
Portanto
Passo 4
Agora preciso do valor de
. Vou explicar por que esse limite vale
de forma direta e elementar.
Uma definição muito útil da função exponencial é a sua série de Taylor centrada em
:
Subtraindo
e dividindo por
obtemos
Cada termo da soma a partir de
contém
em alguma potência positiva, então quando
esses termos tendem a
. Logo
(Observação rápida: outra forma de ver isso é notar que a derivada de
em
é
, e essa derivada é exatamente o limite
.)
Passo 5
Voltando ao limite original e usando o resultado do passo anterior: