Derive as seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado pede a derivada da função
Informações dadas:
- A função é soma de dois termos:
e . - Precisa-se calcular
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Vamos recordar as regras que usaremos (explicadas devagarinho).
Regra 1 — Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se
então
Regra 2 — Regra do potência (caso simples): se
com
constante, então aplica-se a regra da cadeia combinada com a regra do poder:
Aqui
é a função interna (pense como “o que está elevado”) e
é a derivada dessa função interna.
Regra 3 — Derivadas trigonométricas básicas:
Isto vale quando o argumento é exatamente
. Se o argumento for uma função
, usamos a regra da cadeia (veja abaixo).
Regra 4 — Regra da cadeia (essencial): se
, ou seja, uma função composta, então
onde
é a derivada de
em relação ao seu argumento e
é a derivada da função interna
.
Exemplo rápido para fixar: se
então, vendo
e
,
Passo 3
Derivando o primeiro termo
.
Passo a passo: escrevemos esse termo como composição de três camadas:
- camada exterior: potência
, - camada média: função seno
, - camada interior:
.
É mais direto aplicar a regra do poder + cadeia de uma vez. Defina
. Então o termo é
. Pela regra do poder com cadeia:
Agora calculamos
. Como
, pela regra da cadeia com
e
,
Substituindo em cima:
Simplificando o fator numérico:
Passo 4
Derivando o segundo termo
.
Aqui também é composição: função externa
e função interna
. Pela regra da cadeia,
Sabemos
. E
. Logo
Escrevendo de forma mais limpa:
Passo 5
Juntando as derivadas (regra da soma do Passo 2): somamos o resultado do Passo 3 e do Passo 4.
Portanto
Podemos, se quiser, deixar indicado que a ordem dos fatores não importa (por exemplo escrever
ou
é a mesma coisa). A forma acima já está simplificada e própria para a prova.