Derive as seguintes funções:
h(x)=\operatorname{sen}^{3}(2 x)+\cos \left(5 x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
h(x)=\operatorname{sen}^{3}(2x)+\cos\bigl(5x^{2}\bigr).
Informações dadas:
  • A função é soma de dois termos: \operatorname{sen}^{3}(2x) e \cos(5x^{2}).
  • Precisa-se calcular h'(x), a derivada de h em relação a x.

Passo 2

Vamos recordar as regras que usaremos (explicadas devagarinho).
Regra 1 — Regra da soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, se h(x)=f(x)+g(x) então
h'(x)=f'(x)+g'(x).
Regra 2 — Regra do potência (caso simples): se y(x)=\bigl(v(x)\bigr)^{n} com n constante, então aplica-se a regra da cadeia combinada com a regra do poder:
\frac{d}{dx}\bigl(v(x)\bigr)^{n}=n\bigl(v(x)\bigr)^{n-1}\cdot v'(x).
Aqui v(x) é a função interna (pense como “o que está elevado”) e v'(x) é a derivada dessa função interna.
Regra 3 — Derivadas trigonométricas básicas:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x), \qquad \frac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x).
Isto vale quando o argumento é exatamente x. Se o argumento for uma função u(x), usamos a regra da cadeia (veja abaixo).
Regra 4 — Regra da cadeia (essencial): se y(x)=F\bigl(u(x)\bigr), ou seja, uma função composta, então
\frac{d}{dx}F\bigl(u(x)\bigr)=F'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x),
onde F' é a derivada de F em relação ao seu argumento e u'(x) é a derivada da função interna u.
Exemplo rápido para fixar: se y(x)=\sin(3x) então, vendo F(t)=\sin(t) e u(x)=3x,
y'(x)=\cos(3x)\cdot 3 = 3\cos(3x).

Passo 3

Derivando o primeiro termo \operatorname{sen}^{3}(2x).
Passo a passo: escrevemos esse termo como composição de três camadas:
  • camada exterior: potência w\mapsto w^{3},
  • camada média: função seno v\mapsto \operatorname{sen}(v),
  • camada interior: v(x)=2x.
É mais direto aplicar a regra do poder + cadeia de uma vez. Defina u(x)=\operatorname{sen}(2x). Então o termo é u(x)^{3}. Pela regra do poder com cadeia:
\frac{d}{dx}u(x)^{3}=3u(x)^{2}\cdot u'(x).
Agora calculamos u'(x). Como u(x)=\operatorname{sen}(2x), pela regra da cadeia com F(t)=\operatorname{sen}(t) e t(x)=2x,
u'(x)=\cos(2x)\cdot \frac{d}{dx}(2x)=\cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x).
Substituindo em cima:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}^{3}(2x)=3\bigl(\operatorname{sen}(2x)\bigr)^{2}\cdot\bigl(2\cos(2x)\bigr).
Simplificando o fator numérico:
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}^{3}(2x)=6\operatorname{sen}^{2}(2x)\cos(2x).

Passo 4

Derivando o segundo termo \cos\bigl(5x^{2}\bigr).
Aqui também é composição: função externa F(t)=\cos(t) e função interna t(x)=5x^{2}. Pela regra da cadeia,
\frac{d}{dx}\cos\bigl(5x^{2}\bigr)=F'\bigl(t(x)\bigr)\cdot t'(x).
Sabemos F'(t)=-\operatorname{sen}(t). E t'(x)=\dfrac{d}{dx}(5x^{2})=5\cdot 2x=10x. Logo
\frac{d}{dx}\cos\bigl(5x^{2}\bigr)=-\operatorname{sen}\bigl(5x^{2}\bigr)\cdot 10x.
Escrevendo de forma mais limpa:
\frac{d}{dx}\cos\bigl(5x^{2}\bigr)=-10x\,\operatorname{sen}\bigl(5x^{2}\bigr).

Passo 5

Juntando as derivadas (regra da soma do Passo 2): somamos o resultado do Passo 3 e do Passo 4.
Portanto
h'(x)=6\operatorname{sen}^{2}(2x)\cos(2x)-10x\,\operatorname{sen}\bigl(5x^{2}\bigr).
Podemos, se quiser, deixar indicado que a ordem dos fatores não importa (por exemplo escrever -10x\operatorname{sen}(5x^{2}) ou -\operatorname{sen}(5x^{2})\cdot 10x é a mesma coisa). A forma acima já está simplificada e própria para a prova.

Resposta

h'(x)=6\operatorname{sen}^{2}(2x)\cos(2x)-10x\,\operatorname{sen}\bigl(5x^{2}\bigr)

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