1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{e^{3 x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a 0 da expressão
\frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A variável tende a 0: x\to0.
  • O numerador é e^{2x}-1.
  • O denominador é e^{3x}-1.
    A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar substituir x=0 diretamente para ver o tipo de indeterminação.
e^{2\cdot 0}-1 = e^{0}-1 = 1-1 = 0, \qquad e^{3\cdot 0}-1 = e^{0}-1 = 0.
Logo a substituição direta produz uma forma \tfrac{0}{0}, que é uma indeterminação. Isso nos diz que precisamos manipular a expressão ou usar uma regra para avaliar o limite.

Passo 3

Vou apresentar uma ferramenta muito útil para limites do tipo \tfrac{0}{0}: a regra de L’Hospital. Ela diz, em palavras simples:
  • Se duas funções f(x) e g(x) são diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), e
  • se \lim_{x\to a} f(x) = 0 e \lim_{x\to a} g(x) = 0,
  • e se o limite \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} existe (ou é \pm\infty),
  • então
\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui temos exatamente uma situação \tfrac{0}{0} quando x\to0, e as funções e^{2x}-1 e e^{3x}-1 são diferenciáveis em toda parte. Então podemos aplicar L’Hospital.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador. Antes, só uma mini-aula rápida sobre derivada de exponencial composta:
  • A derivada de e^{u(x)} em relação a x é e^{u(x)}\cdot u'(x) (isso é a regra da cadeia).
  • No nosso caso, para u(x)=2x tem-se u'(x)=2; para u(x)=3x tem-se u'(x)=3.
Portanto,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}-1\bigr)=2e^{2x}, \qquad \frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}-1\bigr)=3e^{3x}.

Passo 5

Aplicando L’Hospital, o limite original passa a ser o limite da razão das derivadas:
\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1} = \lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}}{3e^{3x}}.
Agora simplificamos essa expressão: podemos tirar a constante \tfrac{2}{3} e combinar as exponenciais:
\frac{2e^{2x}}{3e^{3x}}=\frac{2}{3}\,e^{2x-3x}=\frac{2}{3}\,e^{-x}.
Tomando o limite quando x\to0,
\lim_{x\to0}\frac{2}{3}\,e^{-x}=\frac{2}{3}\,e^{0}=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}.

Passo 6

Para reforçar e dar outra visão (útil na prova): existe também um método de manipulação usando a propriedade básica
\lim_{t\to0}\frac{e^{t}-1}{t}=1.
Usando isso escrevemos
\frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1} = \frac{\dfrac{e^{2x}-1}{2x}}{\dfrac{e^{3x}-1}{3x}}\cdot\frac{2}{3}.
Ao passar x\to0, cada quociente \dfrac{e^{kx}-1}{kx} tende a 1, então o produto tende a \dfrac{1}{1}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{2}{3}. Essa propriedade \lim_{t\to0}\tfrac{e^{t}-1}{t}=1 pode ser justificada pela derivada de e^{t} em 0 ou pela expansão em série e^{t}=1+t+\tfrac{t^{2}}{2}+\cdots.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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