- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da expressão
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- A variável tende a
: . - O numerador é
. - O denominador é
.
A tarefa é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Primeiro passo prático: tentar substituir
diretamente para ver o tipo de indeterminação.
Logo a substituição direta produz uma forma
, que é uma indeterminação. Isso nos diz que precisamos manipular a expressão ou usar uma regra para avaliar o limite.
Passo 3
Vou apresentar uma ferramenta muito útil para limites do tipo
: a regra de L’Hospital. Ela diz, em palavras simples:
- Se duas funções
e são diferenciáveis numa vizinhança de um ponto (exceto possivelmente no próprio ponto), e - se
e , - e se o limite
existe (ou é ), - então
Aqui temos exatamente uma situação
quando
, e as funções
e
são diferenciáveis em toda parte. Então podemos aplicar L’Hospital.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas do numerador e do denominador. Antes, só uma mini-aula rápida sobre derivada de exponencial composta:
- A derivada de
em relação a é (isso é a regra da cadeia). - No nosso caso, para
tem-se ; para tem-se .
Portanto,
Passo 5
Aplicando L’Hospital, o limite original passa a ser o limite da razão das derivadas:
Agora simplificamos essa expressão: podemos tirar a constante
e combinar as exponenciais:
Tomando o limite quando
,
Passo 6
Para reforçar e dar outra visão (útil na prova): existe também um método de manipulação usando a propriedade básica
Usando isso escrevemos
Ao passar
, cada quociente
tende a
, então o produto tende a
. Essa propriedade
pode ser justificada pela derivada de
em
ou pela expansão em série
.