Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{e^{3 x}-1}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1}.
Informações dadas:
  • A expressão envolve a função exponencial e^{t}.
  • O ponto onde o limite é calculado é x=0.
  • Não há valores numéricos adicionais; apenas a forma da função.

Passo 2

Ideia-chave que vamos usar: a propriedade fundamental
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.
Explicação didática (por que isso vale). Duas maneiras rápidas e intuitivas:
  1. Série de Taylor (mais direta): para u perto de 0,
e^{u}=1+u+\frac{u^{2}}{2}+\frac{u^{3}}{6}+\cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por u obtemos
\frac{e^{u}-1}{u}=1+\frac{u}{2}+\frac{u^{2}}{6}+\cdots,
que tende para 1 quando u\to 0.
  1. Interpretação como derivada: a derivada de e^{x} em x=0 é
(e^{x})'\big|_{x=0}=\lim_{u\to 0}\frac{e^{0+u}-e^{0}}{u}=\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1,
pois a derivada de e^{x} é e^{x} e e^{0}=1.
Ambas mostram que a propriedade acima é verdadeira. Esta é uma ferramenta padrão para limites envolvendo exponenciais.

Passo 3

Manipule a expressão para usar a propriedade vista. Escrevemos
\frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1} = \frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot\frac{3x}{e^{3x}-1}\cdot\frac{2}{3}.
Essa reescrita é apenas multiplicar e dividir por 2x e por 3x de forma a separar fatores que lembram a forma \dfrac{e^{u}-1}{u}.

Passo 4

Agora tomamos o limite em cada fator. Pelas propriedades de limite (produto e razão) e pela propriedade do Passo 2,
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}=1 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0}\frac{3x}{e^{3x}-1}=\lim_{x\to 0}\frac{1}{\dfrac{e^{3x}-1}{3x}}=\frac{1}{1}=1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1} = 1\cdot 1\cdot\frac{2}{3}=\frac{2}{3}.

Passo 5

(Verificação alternativa com regra de l’Hôpital, se quiser confirmar)
A forma é indeterminada \dfrac{0}{0} em x=0. Aplicando l’Hôpital (derivar numerador e denominador):
\lim_{x\to 0}\frac{e^{2x}-1}{e^{3x}-1} =\lim_{x\to 0}\frac{2e^{2x}}{3e^{3x}}=\frac{2}{3}\cdot\lim_{x\to 0}e^{-x}=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}.
Confirma o resultado anterior.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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