Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão envolve a função exponencial
. - O ponto onde o limite é calculado é
. - Não há valores numéricos adicionais; apenas a forma da função.
Passo 2
Ideia-chave que vamos usar: a propriedade fundamental
Explicação didática (por que isso vale). Duas maneiras rápidas e intuitivas:
- Série de Taylor (mais direta): para
perto de ,
Subtraindo
e dividindo por
obtemos
que tende para
quando
.
- Interpretação como derivada: a derivada de
em é
pois a derivada de
é
e
.
Ambas mostram que a propriedade acima é verdadeira. Esta é uma ferramenta padrão para limites envolvendo exponenciais.
Passo 3
Manipule a expressão para usar a propriedade vista. Escrevemos
Essa reescrita é apenas multiplicar e dividir por
e por
de forma a separar fatores que lembram a forma
.
Passo 4
Agora tomamos o limite em cada fator. Pelas propriedades de limite (produto e razão) e pela propriedade do Passo 2,
Portanto
Passo 5
(Verificação alternativa com regra de l’Hôpital, se quiser confirmar)
A forma é indeterminada em
. Aplicando l’Hôpital (derivar numerador e denominador):
A forma é indeterminada
Confirma o resultado anterior.