Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular o limite
Informações dadas: a função é
e a variável tende para
. Observação sobre a forma indeterminada: quando
temos
e
(dependendo do lado), então é uma forma do tipo
, que é uma indeterminação clássica para a qual convém usar o logaritmo natural.
Passo 2
Estratégia (sem fazer ainda): para limites do tipo
é muito conveniente aplicar o logaritmo natural. Se
for o limite procurado e existir um limite finito para
, então
. Vou portanto definir
e calcular
a partir do limite
Passo 3
Aplicar a propriedade do logaritmo (logaritmo da potência):
Expliquei: usei
. Agora o problema reduziu-se a calcular o limite do produto
.
Passo 4
Reescrever para usar um limite padrão. Observa-se que
Agora escrevo a razão
em termos de uma forma conhecida. Note que
Portanto
Passo 5
Usar o limite padrão (explicado a seguir):
Esse limite pode ser justificado de duas maneiras simples:
- Pelo desenvolvimento em série (expansão de Taylor)
, então quando . - Ou por L’Hôpital:
é , derivando numerador e denominador obtemos e avaliando em dá .
Aqui tome
. Quando
temos
, então
Passo 6
Voltar ao cálculo de
. Usando o resultado do passo anterior:
Passo 7
Concluir o limite original: como
, temos
. Então
Dica rápida para a prova: padrões úteis são
. Aqui
e
, então
.