Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0}(1+2 x)^{2 / x}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to 0}(1+2x)^{2/x}.
Informações dadas: a função é (1+2x)^{2/x} e a variável tende para 0. Observação sobre a forma indeterminada: quando x\to 0 temos 1+2x\to 1 e 2/x\to\pm\infty (dependendo do lado), então é uma forma do tipo 1^{\infty}, que é uma indeterminação clássica para a qual convém usar o logaritmo natural.

Passo 2

Estratégia (sem fazer ainda): para limites do tipo 1^{\infty} é muito conveniente aplicar o logaritmo natural. Se L for o limite procurado e existir um limite finito para \ln L, então L=\mathrm{e}^{\ln L}. Vou portanto definir
L=\lim_{x\to 0}(1+2x)^{2/x}
e calcular \ln L a partir do limite
\ln L=\lim_{x\to 0}\ln\bigl((1+2x)^{2/x}\bigr).

Passo 3

Aplicar a propriedade do logaritmo (logaritmo da potência):
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{2}{x}\ln(1+2x).
Expliquei: usei \ln(a^b)=b\ln a. Agora o problema reduziu-se a calcular o limite do produto \dfrac{2}{x}\ln(1+2x).

Passo 4

Reescrever para usar um limite padrão. Observa-se que
\frac{2}{x}\ln(1+2x)=2\cdot\frac{\ln(1+2x)}{x}.
Agora escrevo a razão \dfrac{\ln(1+2x)}{x} em termos de uma forma conhecida. Note que
\frac{\ln(1+2x)}{x}=\frac{\ln(1+2x)}{2x}\cdot 2.
Portanto
\frac{2}{x}\ln(1+2x)=2\cdot\frac{\ln(1+2x)}{x}=2\cdot\left(2\cdot\frac{\ln(1+2x)}{2x}\right)=4\cdot\frac{\ln(1+2x)}{2x}.

Passo 5

Usar o limite padrão (explicado a seguir):
\lim_{u\to 0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1.
Esse limite pode ser justificado de duas maneiras simples:
  • Pelo desenvolvimento em série (expansão de Taylor) \ln(1+u)=u-\tfrac{u^2}{2}+\cdots, então \ln(1+u)/u\to 1 quando u\to 0.
  • Ou por L’Hôpital: \lim_{u\to 0}\dfrac{\ln(1+u)}{u} é 0/0, derivando numerador e denominador obtemos \dfrac{1/(1+u)}{1} e avaliando em u=0 1.
Aqui tome u=2x. Quando x\to 0 temos u\to 0, então
\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{2x}=1.

Passo 6

Voltar ao cálculo de \ln L. Usando o resultado do passo anterior:
\ln L=\lim_{x\to 0}\frac{2}{x}\ln(1+2x)=4\cdot\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+2x)}{2x}=4\cdot 1=4.

Passo 7

Concluir o limite original: como \ln L=4, temos L=\mathrm{e}^{4}. Então
\lim_{x\to 0}(1+2x)^{2/x}=\mathrm{e}^{4}.
Dica rápida para a prova: padrões úteis são \displaystyle\lim_{x\to 0}(1+ax)^{b/x}=\mathrm{e}^{ab}. Aqui a=2 e b=2, então \mathrm{e}^{2\cdot 2}=\mathrm{e}^{4}.

Resposta

\mathrm{e}^{4}

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