Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas: a função exponencial
está definida para todos os reais e queremos o comportamento da razão indicada quando
se aproxima de
. A única pergunta é encontrar o valor desse limite.
Passo 2
Fazer uma substituição simples para ficar com uma forma padrão. Defina
. Então, quando
temos
e
. Reescrevendo a expressão em função de
obtemos
Passo 3
Portanto o limite original reduz-se a
Falta, então, calcular
. Esse é um limite padrão que vale
. Vou explicar direitinho por que.
Passo 4
Uma demonstração direta usando a série de Taylor da exponencial (que converge para todo
) é muito clara. A série é
Subtraindo
e dividindo por
temos
Todos os termos à direita, exceto o
, têm um fator
e portanto tendem a
quando
. Logo
Passo 5
Voltando ao limite original e usando o resultado do passo anterior,
Passo 6
Observação rápida e útil para prova: outra maneira curta de ver isso é notar que
é exatamente a definição do valor da derivada de
em
; como
e
, a derivada em
é
, dando o mesmo resultado. Enfim, fica a dica: reconhecer esses limites padrões salva tempo na prova!