Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{7 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to 0} \frac{e^{7x}-1}{x}.
Informações dadas: a função exponencial e^{t} está definida para todos os reais e queremos o comportamento da razão indicada quando x se aproxima de 0. A única pergunta é encontrar o valor desse limite.

Passo 2

Fazer uma substituição simples para ficar com uma forma padrão. Defina u=7x. Então, quando x \to 0 temos u \to 0 e x = \dfrac{u}{7}. Reescrevendo a expressão em função de u obtemos
\frac{e^{7x}-1}{x}=\frac{e^{u}-1}{u/7}=7\cdot\frac{e^{u}-1}{u}.

Passo 3

Portanto o limite original reduz-se a
\lim_{x \to 0} \frac{e^{7x}-1}{x} =7\cdot\lim_{u \to 0}\frac{e^{u}-1}{u}.
Falta, então, calcular \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}. Esse é um limite padrão que vale 1. Vou explicar direitinho por que.

Passo 4

Uma demonstração direta usando a série de Taylor da exponencial (que converge para todo u) é muito clara. A série é
e^{u} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{u^{n}}{n!}=1+u+\frac{u^{2}}{2!}+\frac{u^{3}}{3!}+\cdots.
Subtraindo 1 e dividindo por u temos
\frac{e^{u}-1}{u}=1+\frac{u}{2!}+\frac{u^{2}}{3!}+\cdots.
Todos os termos à direita, exceto o 1, têm um fator u e portanto tendem a 0 quando u\to 0. Logo
\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}=1.

Passo 5

Voltando ao limite original e usando o resultado do passo anterior,
\lim_{x \to 0} \frac{e^{7x}-1}{x}=7\cdot 1=7.

Passo 6

Observação rápida e útil para prova: outra maneira curta de ver isso é notar que \displaystyle\lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u} é exatamente a definição do valor da derivada de e^{u} em u=0; como \frac{d}{du}e^{u}=e^{u} e e^{0}=1, a derivada em 0 é 1, dando o mesmo resultado. Enfim, fica a dica: reconhecer esses limites padrões salva tempo na prova!

Resposta

7

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