Calcule os seguintes limites: \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{3 x}-1}{x}
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite quando x \to 0 da expressão
\frac{2^{3x}-1}{x}.
Informações dadas:
A base da potência é 2.
O expoente é 3x.
Queremos o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2^{3x}-1}{x}.
Passo 2
Vamos usar a identidade que relaciona potências com a função exponencial natural:
a^{t} = e^{t\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a e e é a base dos logaritmos naturais. Aplicando isso para a=2 e t=3x temos:
2^{3x} = e^{3x\ln 2}.
Explicando de leve: \ln 2 é o número tal que e^{\ln 2}=2; a fórmula acima é apenas a mudança de base que torna potências em exponenciais com base e, o que facilita limites porque sabemos bem o comportamento de e^{u} perto de u=0.
Passo 3
Substituindo na expressão do limite obtemos
\frac{2^{3x}-1}{x} = \frac{e^{3x\ln 2}-1}{x}.
Passo 4
Fazemos a substituição auxiliar
u = 3x\ln 2.
Quando x\to 0 temos também u\to 0. Agora reescreve-se a fração isolando um fator conveniente: