Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2^{3 x}-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite quando x \to 0 da expressão
\frac{2^{3x}-1}{x}.
Informações dadas:
  • A base da potência é 2.
  • O expoente é 3x.
  • Queremos o valor do limite \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{2^{3x}-1}{x}.

Passo 2

Vamos usar a identidade que relaciona potências com a função exponencial natural:
a^{t} = e^{t\ln a},
onde \ln a é o logaritmo natural de a e e é a base dos logaritmos naturais. Aplicando isso para a=2 e t=3x temos:
2^{3x} = e^{3x\ln 2}.
Explicando de leve: \ln 2 é o número tal que e^{\ln 2}=2; a fórmula acima é apenas a mudança de base que torna potências em exponenciais com base e, o que facilita limites porque sabemos bem o comportamento de e^{u} perto de u=0.

Passo 3

Substituindo na expressão do limite obtemos
\frac{2^{3x}-1}{x} = \frac{e^{3x\ln 2}-1}{x}.

Passo 4

Fazemos a substituição auxiliar
u = 3x\ln 2.
Quando x\to 0 temos também u\to 0. Agora reescreve-se a fração isolando um fator conveniente:
\frac{e^{3x\ln 2}-1}{x} = \frac{e^{u}-1}{x} = \frac{e^{u}-1}{u}\cdot\frac{u}{x}.
Isto é apenas multiplicar e dividir por u (válido para x perto de 0, exceto no ponto 0 onde consideramos limite).

Passo 5

Calculemos cada fator:
  • Primeiro, \displaystyle \frac{u}{x} = \frac{3x\ln 2}{x} = 3\ln 2.
  • Segundo, o fator \displaystyle \frac{e^{u}-1}{u} quando u\to 0 tende a 1. Justificativa simples: a série exponencial é
e^{u} = 1 + u + \frac{u^{2}}{2} + \cdots,
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\frac{e^{u}-1}{u} = 1 + \frac{u}{2} + \cdots \xrightarrow[u\to 0]{} 1.
Outra justificativa (mais conceitual) é que essa razão é a derivada de e^{u} em u=0, e \left.\dfrac{d}{du}e^{u}\right|_{u=0}=1.

Passo 6

juntando os dois fatores e passando ao limite:
\lim_{x\to 0}\frac{2^{3x}-1}{x} = \lim_{u\to 0}\frac{e^{u}-1}{u}\cdot\frac{u}{x} = 1 \cdot 3\ln 2.
Portanto o valor do limite é 3\ln 2.

Resposta

3\ln 2

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