Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2}.
Esse limite é um caso de forma indeterminada \tfrac{0}{0}, então vamos usar a técnica de racionalização do denominador, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado \sqrt{x+2}+2.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{x+2}+2:
\frac{x-2}{\sqrt{x+2}-2} \;\cdot\; \frac{\sqrt{x+2}+2}{\sqrt{x+2}+2} \;=\; \frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2)}

Passo 3

No denominador aplicamos a diferença de quadrados:
(\sqrt{x+2}-2)(\sqrt{x+2}+2) = (\sqrt{x+2})^2 - 2^2 = x+2 - 4 = x-2
Portanto a expressão fica
\frac{(x-2)(\sqrt{x+2}+2)}{x-2}

Passo 4

Para x\neq2 podemos cancelar x-2, restando \sqrt{x+2}+2 e agora basta avaliar em x=2:
\sqrt{2+2}+2 = \sqrt{4}+2 = 2+2 = 4

Resposta

4

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