Calcule os seguintes limites:
\lim _{t \rightarrow 2} \frac{\sqrt{t^{6}-8}}{\sqrt[3]{t^{6}-4}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\lim_{t\to2}\frac{\sqrt{t^{6}-8}}{\sqrt[3]{t^{6}-4}}.
O conteúdo envolve limites de funções compostas e uso da continuidade de radicais.

Passo 2

Para t próximo de 2 temos t^{6}-8>0 e t^{6}-4>0, de modo que as funções t\mapsto \sqrt{t^{6}-8} e t\mapsto \sqrt[3]{t^{6}-4} são contínuas. Como \sqrt[3]{t^{6}-4} não se anula em t=2, podemos usar substituição direta.

Passo 3

Substituindo t=2 no numerador:
\sqrt{2^{6}-8}=\sqrt{64-8}=\sqrt{56}=2\sqrt{14}.

Passo 4

Substituindo t=2 no denominador:
\sqrt[3]{2^{6}-4}=\sqrt[3]{64-4}=\sqrt[3]{60}=2\sqrt[3]{\tfrac{15}{2}}.

Passo 5

Dividindo numerador por denominador:
\frac{2\sqrt{14}}{2\sqrt[3]{\tfrac{15}{2}}} =\frac{\sqrt{14}}{\sqrt[3]{\tfrac{15}{2}}}.

Resposta

\frac{\sqrt{14}}{\sqrt[3]{\tfrac{15}{2}}}.

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