Determine o \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{3 x+4}{x-2}

Passo 1

O enunciado pede o valor de \displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{3x+4}{x-2}.
Este é um limite de uma função racional no infinito. Para resolver, vamos usar a técnica de dividir numerador e denominador pelo maior grau de x.

Passo 2

Dividimos numerador e denominador por x:
\frac{3x+4}{x-2} = \frac{x\bigl(3+\tfrac{4}{x}\bigr)}{x\bigl(1-\tfrac{2}{x}\bigr)} = \frac{3+\tfrac{4}{x}}{1-\tfrac{2}{x}}

Passo 3

À medida que x\to\infty, temos \tfrac{4}{x}\to0 e \tfrac{2}{x}\to0. Logo,
\lim_{x\to\infty}\frac{3+\tfrac{4}{x}}{1-\tfrac{2}{x}} = \frac{3+0}{1-0} =3.

Resposta

3

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