A composição das atmosferas planetária é, em parte, fixada pelas velocidades das moléculas dos gases que as constituem, pois moléculas que se movem mais rapidamente podem alcançar a velocidade de fuga e assim deixar o planeta. Calcule a velocidade média dos átomos de He nas temperaturas 298 K

Passo 1

O enunciado pede para calcular a velocidade média dos átomos de hélio (He) à temperatura 298\\ \text{K}. Informações dadas:
  • Temperatura: T = 298\\ \text{K}.
  • Gás: hélio atômico (massa molar aproximada conhecida para He).
    A pergunta é única: “Qual a velocidade média dos átomos de He em 298\\ \text{K}?”

Passo 2

Qual fórmula usar e por que? Vou explicar de forma direta e intuítiva.
A teoria cinética dos gases (distribuição de Maxwell–Boltzmann) diz que as velocidades das partículas têm uma distribuição. A velocidade média escalar (ou “velocidade média” no sentido usual da cinética) para partículas de massa m à temperatura T é dada por
\bar{v} = \sqrt{\dfrac{8 k_B T}{\pi m}},
onde:
  • \bar{v} é a velocidade média (em m/s),
  • k_B é a constante de Boltzmann ( k_B = 1{,}380649\times10^{-23}\\ \mathrm{J\,K^{-1}}),
  • T é a temperatura em kelvin,
  • m é a massa de uma única partícula (em kg).
Uma forma prática para cálculos com gases é usar a constante dos gases R e a massa molar M (massa de 1 mol do gás), obtendo
\bar{v} = \sqrt{\dfrac{8 R T}{\pi M}},
onde:
  • R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\,mol^{-1}\,K^{-1}},
  • M é a massa molar em kg·mol^{-1}.
Essa forma é exatamente a mesma que a anterior porque k_B = R/N_A e m = M/N_A (onde N_A é o número de Avogadro) e os N_A cancelam.

Passo 3

Vamos identificar M para o hélio e colocar tudo em unidades do SI.
A massa molar do hélio é
M = 4{,}002602\\ \text{g·mol}^{-1} = 4{,}002602\times10^{-3}\\ \mathrm{kg\cdot mol^{-1}}.
Constantes que usarei:
R = 8{,}314462618\\ \mathrm{J\;mol^{-1}\;K^{-1}},\qquad T = 298\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Agora aplico a fórmula prática
\bar{v} = \sqrt{\dfrac{8 R T}{\pi M}}.
Substituindo os valores:
8 R T = 8 \times 8{,}314462618 \times 298 = 19821{,}6788816773\\ \mathrm{J\;mol^{-1}}.
E
\pi M = \pi \times 4{,}002602\times10^{-3} = 0{,}0125745467\\ \mathrm{kg\;mol^{-1}}\quad(\text{aprox.}).

Passo 5

Calculo o quociente dentro da raiz:
\dfrac{8RT}{\pi M} = \dfrac{19821{,}6788816773}{0{,}0125745467}\approx 1{,}576862\times10^{6}\\ \mathrm{(m/s)^2}.
Agora tiro a raiz quadrada para obter a velocidade média:
\bar{v} = \sqrt{1{,}576862\times10^{6}}\approx 1{,}256\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Interpretação curta e cheque rápido: o valor obtido \bar{v}\approx 1{,}26\times10^{3}\\ \mathrm{m/s} faz sentido fisicamente — átomos leves como He têm velocidades médias da ordem de milhares de metros por segundo a temperatura ambiente.

Resposta

1{,}26\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}

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