Calcule os seguintes limites.
\lim _{x \rightarrow-1} \frac{x^{2}-1}{x^{2}+1},

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A expressão cuja variável tende a um ponto é \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}+1}.
  • A variável x aproxima-se de -1.
  • A pergunta é: qual é o valor desse limite quando x se aproxima de -1?

Passo 2

Primeiro passo prático: tentar substituir x=-1 diretamente na expressão para ver se obtemos um número definido ou uma indeterminação. Calculamos o numerador em x=-1:
(-1)^{2}-1 = 1-1 = 0.
Calculamos o denominador em x=-1:
(-1)^{2}+1 = 1+1 = 2.
Interpretação do resultado do Passo 2: ao substituir x=-1 obtivemos numerador 0 e denominador 2. Como o denominador é diferente de zero ( 2\neq 0), a expressão não é uma indeterminação do tipo 0/0. Quando a função é uma razão de polinômios (aqui x^{2}-1 e x^{2}+1) e o denominador ao ponto de interesse não é zero, podemos calcular o limite simplesmente substituindo o valor — isto é, a função é contínua nesse ponto.

Passo 3

Aplicando a substituição final:
\lim_{x\to -1}\frac{x^{2}-1}{x^{2}+1} = \frac{0}{2} = 0.
Explicação intuitiva rápida: perto de x=-1 o numerador é muito pequeno (tende a 0) e o denominador tende a 2, então a razão tende a 0. Pequeno reforço (exemplo extra para fixar): se tivéssemos \lim_{x\to 0}\dfrac{x+1}{x^{2}+1}, ao substituir x=0 obteríamos \dfrac{1}{1}=1 sem indeterminação, porque o denominador também não seria zero. Já se tentássemos \lim_{x\to 1}\dfrac{x^{2}-1}{x-1}, aí obteríamos 0/0 e precisaríamos manipular (fatorar) antes de decidir o valor do limite.

Resposta

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