Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} e^{x-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o limite
\lim_{x\to\infty} e^{x-x^{2}}.
Informações dadas: a função cuja limite queremos é f(x)=e^{x-x^{2}}. A variável tende para +\infty. Não temos restrições adicionais.

Passo 2

Observação inicial e reescrita do expoente. Vamos olhar o expoente isoladamente:
x-x^{2} = -x^{2}+x = -(x^{2}-x).
Isto mostra que o expoente é um número negativo para x grande, pois x^{2} cresce mais rápido que x. Vou tornar essa ideia rigorosa com uma desigualdade simples.

Passo 3

Para fixar uma desigualdade prática, note que para \;x\ge 2\; temos \;x-1\ge x/2\;. Multiplicando por x\ge 2 obtemos
x(x-1)\ge x\cdot\frac{x}{2}=\frac{x^{2}}{2}.
Como x(x-1)=x^{2}-x, concluímos que, para \;x\ge 2\;,
x^{2}-x\ge \frac{x^{2}}{2}.

Passo 4

Usando a desigualdade do Passo 3, para \;x\ge 2\; temos
x-x^{2}=-(x^{2}-x)\le -\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando a função exponencial —que é crescente— a ambos os lados da desigualdade, obtemos, para \;x\ge 2\;,
e^{x-x^{2}}\le e^{-\frac{x^{2}}{2}}.
Além disso, por definição de exponencial, e^{x-x^{2}}>0 para todo x. Assim
0 \le e^{x-x^{2}} \le e^{-\frac{x^{2}}{2}}\qquad(\text{para }x\ge 2).

Passo 5

Agora analisamos o limite da função que está no lado direito. Como \;x\to\infty\; implica \;\frac{x^{2}}{2}\to\infty\;, segue que
e^{-\frac{x^{2}}{2}}\to 0.
Isto porque a exponencial de um número que tende para -\infty tende para 0.

Passo 6

Aplicando o Teorema do Confronto (teorema do sanduíche): uma função que está entre 0 e outra que tende a 0 também tende a 0. Logo
\lim_{x\to\infty} e^{x-x^{2}} = 0.

Passo 7

(Bônus — visão alternativa, rápida) Se preferir ver com logaritmo: seja f(x)=e^{x-x^{2}}. Então \ln f(x)=x-x^{2}\to -\infty quando x\to\infty. Como \exp é contínua, f(x)=e^{\ln f(x)}\to e^{-\infty}=0. Resultado consistente com os passos anteriores.

Resposta

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