Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede que a gente calcule o limite
Informações dadas: a função cuja limite queremos é
. A variável tende para
. Não temos restrições adicionais.
Passo 2
Observação inicial e reescrita do expoente. Vamos olhar o expoente isoladamente:
Isto mostra que o expoente é um número negativo para
grande, pois
cresce mais rápido que
. Vou tornar essa ideia rigorosa com uma desigualdade simples.
Passo 3
Para fixar uma desigualdade prática, note que para
temos
. Multiplicando por
obtemos
Como
, concluímos que, para
,
Passo 4
Usando a desigualdade do Passo 3, para
temos
Aplicando a função exponencial —que é crescente— a ambos os lados da desigualdade, obtemos, para
,
Além disso, por definição de exponencial,
para todo
. Assim
Passo 5
Agora analisamos o limite da função que está no lado direito. Como
implica
, segue que
Isto porque a exponencial de um número que tende para
tende para
.
Passo 6
Aplicando o Teorema do Confronto (teorema do sanduíche): uma função que está entre
e outra que tende a
também tende a
. Logo
Passo 7
(Bônus — visão alternativa, rápida) Se preferir ver com logaritmo: seja
. Então
quando
. Como
é contínua,
. Resultado consistente com os passos anteriores.