Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas (extraídas do enunciado):
- Numerador:
. - Denominador:
. - Queremos o comportamento da fração quando
tende para .
Passo 2
Ideia principal (explicação didática do conceito): quando
tende a infinito em uma função racional (fração de polinômios), o termo que domina o comportamento é o de maior grau (o termo de maior potência) em cada polinômio. Especificamente:
- Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o valor absoluto da fração cresce sem limite (ou seja, tende a
). - O sinal final (mais/menos infinito) é determinado pelo sinal do termo dominante combinado, avaliando-se para
.
Aplicando isso rapidamente aqui: o grau do numerador é
(termo dominante
) e o grau do denominador é
(termo dominante
), logo o módulo da fração tende a infinito. Para descobrir o sinal, aproximamos a fração pelos termos dominantes:
Agora avaliamos
quando
. Como
para
, temos
. Portanto, por esta análise rápida, o limite deve ser
.
Passo 3
Para ser mais rigoroso e mostrar passo a passo como fazer na prova sem pular etapas, podemos dividir polinômios (divisão de polinômio por polinômio de primeiro grau). Vamos dividir
por
Fazendo a divisão passo a passo:
- Dividindo o termo líder:
. Multiplica-se o divisor:
Subtraindo:
- Trazer o próximo termo e dividir:
. Multiplica-se:
Subtraindo:
- Próxima divisão:
. Multiplica-se:
Subtraindo (lembrando que o termo seguinte no numerador é
):
- Próxima divisão:
. Multiplica-se:
Subtraindo (lembrando o termo constante
do numerador):
Sobra, portanto, o resto
. Assim a divisão fornece:
Passo 4
Agora analisamos o limite de cada parte quando
:
- O polinômio
tem termo dominante . Para , logo . Portanto o polinômio tende a . - O termo
tende a quando porque o denominador cresce em módulo.
Somando as partes, a expressão inteira tende a
.
Passo 5
Checagem rápida por intuição: para um
muito grande em módulo negativo (por exemplo
), o numerador tem sinal de
(positivo, porque
é positivo e o coeficiente é negativo, então numerador é negativo? cuidado:
com
dá negativo — mas combine com divisor
que para
negativo é negativo; então negativo dividido por negativo é positivo), isso confirma que a fração fica positiva e muito grande, consistente com
.