Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{-6 x^{4}+8 x+7}{3 x+2}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \frac{-6x^{4}+8x+7}{3x+2}.
Informações dadas (extraídas do enunciado):
  • Numerador: -6x^{4}+8x+7.
  • Denominador: 3x+2.
  • Queremos o comportamento da fração quando x tende para -\infty.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática do conceito): quando x tende a infinito em uma função racional (fração de polinômios), o termo que domina o comportamento é o de maior grau (o termo de maior potência) em cada polinômio. Especificamente:
  • Se o grau do numerador for maior que o do denominador, o valor absoluto da fração cresce sem limite (ou seja, tende a \pm\infty).
  • O sinal final (mais/menos infinito) é determinado pelo sinal do termo dominante combinado, avaliando-se para x\to\pm\infty.
Aplicando isso rapidamente aqui: o grau do numerador é 4 (termo dominante -6x^{4}) e o grau do denominador é 1 (termo dominante 3x), logo o módulo da fração tende a infinito. Para descobrir o sinal, aproximamos a fração pelos termos dominantes:
\frac{-6x^{4}+8x+7}{3x+2}\sim\frac{-6x^{4}}{3x}=-2x^{3}.
Agora avaliamos -2x^{3} quando x\to -\infty. Como x^{3}\to -\infty para x\to -\infty, temos -2x^{3}\to +\infty. Portanto, por esta análise rápida, o limite deve ser +\infty.

Passo 3

Para ser mais rigoroso e mostrar passo a passo como fazer na prova sem pular etapas, podemos dividir polinômios (divisão de polinômio por polinômio de primeiro grau). Vamos dividir
-6x^{4}+0x^{3}+0x^{2}+8x+7
por
3x+2.
Fazendo a divisão passo a passo:
  1. Dividindo o termo líder: \dfrac{-6x^{4}}{3x}=-2x^{3}. Multiplica-se o divisor:
-2x^{3}(3x+2)=-6x^{4}-4x^{3}.
Subtraindo:
(-6x^{4}+0x^{3})-(-6x^{4}-4x^{3})=4x^{3}.
  1. Trazer o próximo termo e dividir: \dfrac{4x^{3}}{3x}=\dfrac{4}{3}x^{2}. Multiplica-se:
\frac{4}{3}x^{2}(3x+2)=4x^{3}+\frac{8}{3}x^{2}.
Subtraindo:
\left(4x^{3}+0x^{2}\right)-\left(4x^{3}+\frac{8}{3}x^{2}\right)=-\frac{8}{3}x^{2}.
  1. Próxima divisão: \dfrac{-\frac{8}{3}x^{2}}{3x}=-\frac{8}{9}x. Multiplica-se:
-\frac{8}{9}x(3x+2)=-\frac{8}{3}x^{2}-\frac{16}{9}x.
Subtraindo (lembrando que o termo seguinte no numerador é +8x):
\left(-\frac{8}{3}x^{2}+8x\right)-\left(-\frac{8}{3}x^{2}-\frac{16}{9}x\right)=8x+\frac{16}{9}x=\frac{88}{9}x.
  1. Próxima divisão: \dfrac{\frac{88}{9}x}{3x}=\frac{88}{27}. Multiplica-se:
\frac{88}{27}(3x+2)=\frac{88}{9}x+\frac{176}{27}.
Subtraindo (lembrando o termo constante +7 do numerador):
\left(\frac{88}{9}x+7\right)-\left(\frac{88}{9}x+\frac{176}{27}\right)=7-\frac{176}{27}=\frac{13}{27}.
Sobra, portanto, o resto \dfrac{13}{27}. Assim a divisão fornece:
\frac{-6x^{4}+8x+7}{3x+2} = -2x^{3}+\frac{4}{3}x^{2}-\frac{8}{9}x+\frac{88}{27}+\frac{\tfrac{13}{27}}{3x+2}.

Passo 4

Agora analisamos o limite de cada parte quando x\to -\infty:
  • O polinômio -2x^{3}+\dfrac{4}{3}x^{2}-\dfrac{8}{9}x+\dfrac{88}{27} tem termo dominante -2x^{3}. Para x\to -\infty, x^{3}\to -\infty logo -2x^{3}\to +\infty. Portanto o polinômio tende a +\infty.
  • O termo \dfrac{\tfrac{13}{27}}{3x+2}=\dfrac{13}{27(3x+2)} tende a 0 quando x\to -\infty porque o denominador cresce em módulo.
Somando as partes, a expressão inteira tende a +\infty.

Passo 5

Checagem rápida por intuição: para um x muito grande em módulo negativo (por exemplo x=-1000), o numerador tem sinal de -6x^{4} (positivo, porque x^{4} é positivo e o coeficiente é negativo, então numerador é negativo? cuidado: -6x^{4} com x^{4}>0 dá negativo — mas combine com divisor 3x que para x negativo é negativo; então negativo dividido por negativo é positivo), isso confirma que a fração fica positiva e muito grande, consistente com +\infty.

Resposta

+\infty

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