Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite quando
tende a
da função racional abaixo:
Informações dadas que vamos usar:
- O numerador é
. - O denominador é
. - O parâmetro que varia é
e consideramos .
A pergunta é: qual é o valor desse limite?
Passo 2
Estratégia escolhida (muito usada em prova): dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador (aqui
). Isso deixa termos como
e
, que sabemos que tendem a zero quando
. Assim fica fácil ver o comportamento assintótico da fração.
Breve lembrete útil (propriedade de limites):
-
. - Se
e com , então .
Passo 3
Aplicando a divisão por
em numerador e denominador:
Passo 4
Agora calculamos o limite termo a termo, sabendo que
e
:
Como o denominador tendiu a
(não nulo), a divisão é segura e o limite é
.
Passo 5
Interpretação rápida e intuição para lembrar na prova: o denominador tem termo de ordem
(cresce como
) enquanto o numerador cresce apenas como
. Logo a razão decai como
para
grande, indo para zero. Exemplo análogo:
.