Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x+2}{9 x+5 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite quando x tende a +\infty da função racional abaixo:
\lim_{x\to+\infty}\frac{x+2}{9x+5x^{2}}.
Informações dadas que vamos usar:
  • O numerador é x+2.
  • O denominador é 9x+5x^{2}.
  • O parâmetro que varia é x e consideramos x\to+\infty.
    A pergunta é: qual é o valor desse limite?

Passo 2

Estratégia escolhida (muito usada em prova): dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador (aqui x^{2}). Isso deixa termos como \tfrac{1}{x} e \tfrac{1}{x^{2}}, que sabemos que tendem a zero quando x\to+\infty. Assim fica fácil ver o comportamento assintótico da fração.
Breve lembrete útil (propriedade de limites):
  • \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{x}=0.
  • Se \displaystyle\lim_{x\to+\infty}a(x)=A e \displaystyle\lim_{x\to+\infty}b(x)=B com B\neq0, então \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{a(x)}{b(x)}=\frac{A}{B}.

Passo 3

Aplicando a divisão por x^{2} em numerador e denominador:
\frac{x+2}{9x+5x^{2}} = \frac{\dfrac{x}{x^{2}}+\dfrac{2}{x^{2}}}{\dfrac{9x}{x^{2}}+\dfrac{5x^{2}}{x^{2}}} = \frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}{\dfrac{9}{x}+5}.

Passo 4

Agora calculamos o limite termo a termo, sabendo que \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0 e \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0:
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{x}+\dfrac{2}{x^{2}}}{\dfrac{9}{x}+5} = \frac{0+0}{0+5} = \frac{0}{5} = 0.
Como o denominador tendiu a 5 (não nulo), a divisão é segura e o limite é 0.

Passo 5

Interpretação rápida e intuição para lembrar na prova: o denominador tem termo de ordem x^{2} (cresce como x^{2}) enquanto o numerador cresce apenas como x. Logo a razão decai como 1/x para x grande, indo para zero. Exemplo análogo: \displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{2x^{2}+7}=0.

Resposta

0

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