P1.12 Determine se os sinais a seguir são periódicos e, em caso positivo, determine seus períodos.
Passo 1
O enunciado dá a sequência discreta
O que se pede:
- Determinar se
é periódica. - Se for periódica, determinar o(s) período(s) (ou o período fundamental).
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A soma é sobre todo
. - A sequência é a soma de duas partes: uma com termos
e outra com termos . Vou chamar de modo que .
Passo 2
Definição de periodicidade (para sequência discreta): uma sequência
é periódica se existe um inteiro positivo
tal que
Se existir, o menor
com essa propriedade chama-se período fundamental. Vou aplicar essa definição às partes
e
e depois a
.
Passo 3
Análise de
.
-
Interpretação: para cada
a função é 1 apenas em . Portanto vale 1 sempre que é múltiplo de 3 e vale 0 caso contrário. Em outras palavras, o suporte de é o conjunto . -
Verificação de periodicidade: para qualquer
, onde na segunda igualdade foi feita a mudança de índice. Assim para todo , logo é periódica com período . O período fundamental é (qualquer múltiplo inteiro de 3 também é período, mas o menor positivo é 3).
Passo 4
Análise de
.
-
Interpretação do suporte: cada termo
coloca uma unidade em . Como , os índices onde é não nulo são exatamente os quadrados perfeitos não negativos: Observação sobre amplitude: parasó o termo contribui, então ; para com há contribuições de e de , então (isto não é essencial para mostrar não periodicidade, mas será útil adiante). -
Prova de que
não é periódica: suponha, por contradição, que exista um período inteiro tal que para todo .
Considere um inteirotal que (Existem sempre tais.) Então portantoIsso implica quenão é um quadrado perfeito (pois está estritamente entre dois quadrados consecutivos). Mas (quando ), e por periodicidade deveríamos ter . Como não é quadrado, , contradição. Logo não existe com para todo . Portanto não é periódica.
Passo 5
Conclusão sobre
.
-
Intuição:
é periódico (período 3) e não é periódico. A soma de uma sequência periódica com uma não periódica normalmente é não periódica; preciso dar uma contradição direta supondo que fosse periódico. -
Prova por contradição mais detalhada: suponha
tem período . Escolha inteiro tal que (Existem infinitos inteiros com essas propriedades.) Para essetemos: AssimPelo pressuposto de periodicidade de, deveríamos ter . Mas pelo item anterior, como temos não é quadrado, logo . Além disso toma valores apenas ou , então o que contradiz. Portanto não existe período para . -
Conclusão:
não é periódico.