P1.12 Determine se os sinais a seguir são periódicos e, em caso positivo, determine seus períodos.
\quad x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\delta[n-3 k]+\delta\left[n-k^{2}\right]\right)

Passo 1

O enunciado dá a sequência discreta
x[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\bigl(\delta[n-3k]+\delta[n-k^{2}]\bigr).
O que se pede:
  • Determinar se x[n] é periódica.
  • Se for periódica, determinar o(s) período(s) (ou o período fundamental).
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A soma é sobre todo k\in\mathbb{Z}.
  • A sequência é a soma de duas partes: uma com termos \delta[n-3k] e outra com termos \delta[n-k^2]. Vou chamar s_1[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-3k], \qquad s_2[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-k^2],de modo que x[n]=s_1[n]+s_2[n].

Passo 2

Definição de periodicidade (para sequência discreta): uma sequência y[n] é periódica se existe um inteiro positivo N tal que
y[n+N]=y[n]\quad\text{para todo }n\in\mathbb{Z}.
Se existir, o menor N>0 com essa propriedade chama-se período fundamental. Vou aplicar essa definição às partes s_1[n] e s_2[n] e depois a x[n].

Passo 3

Análise de s_1[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-3k].
  • Interpretação: para cada k a função \delta[n-3k] é 1 apenas em n=3k. Portanto s_1[n] vale 1 sempre que n é múltiplo de 3 e vale 0 caso contrário. Em outras palavras, o suporte de s_1 é o conjunto \{\dots,-6,-3,0,3,6,\dots\}.
  • Verificação de periodicidade: para qualquer n,
    s_1[n+3]=\sum_{k}\delta[n+3-3k]=\sum_{k}\delta[n-3(k-1)]=\sum_{m}\delta[n-3m]=s_1[n],
    onde na segunda igualdade foi feita a mudança de índice m=k-1. Assim s_1[n+3]=s_1[n] para todo n, logo s_1 é periódica com período N_1=3. O período fundamental é 3 (qualquer múltiplo inteiro de 3 também é período, mas o menor positivo é 3).

Passo 4

Análise de s_2[n]=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\delta[n-k^{2}].
  • Interpretação do suporte: cada termo \delta[n-k^2] coloca uma unidade em n=k^2. Como ( -k)^2=k^2, os índices onde s_2 é não nulo são exatamente os quadrados perfeitos não negativos:
    \mathrm{supp}(s_2)=\{0,1,4,9,16,\dots\}.
    Observação sobre amplitude: para n=0 só o termo k=0 contribui, então s_2[0]=1; para n=r^2 com r\ne0 há contribuições de k=r e de k=-r, então s_2[r^2]=2 (isto não é essencial para mostrar não periodicidade, mas será útil adiante).
  • Prova de que s_2 não é periódica: suponha, por contradição, que exista um período inteiro N>0 tal que s_2[n+N]=s_2[n] para todo n.
    Considere um inteiro m tal que
    m>\frac{N-1}{2}.
    (Existem sempre tais m.) Então
    (m+1)^2-m^2 = 2m+1 > N,
    portanto
    m^2 < m^2+N < (m+1)^2.
    Isso implica que m^2+N não é um quadrado perfeito (pois está estritamente entre dois quadrados consecutivos). Mas s_2[m^2]=2 (quando m\ne0), e por periodicidade deveríamos ter s_2[m^2+N]=s_2[m^2]=2. Como m^2+N não é quadrado, s_2[m^2+N]=0, contradição. Logo não existe N>0 com s_2[n+N]=s_2[n] para todo n. Portanto s_2 não é periódica.

Passo 5

Conclusão sobre x[n]=s_1[n]+s_2[n].
  • Intuição: s_1 é periódico (período 3) e s_2 não é periódico. A soma de uma sequência periódica com uma não periódica normalmente é não periódica; preciso dar uma contradição direta supondo que x fosse periódico.
  • Prova por contradição mais detalhada: suponha x tem período N>0. Escolha m inteiro tal que
    m>\frac{N-1}{2} \quad\text{e}\quad m\not\equiv 0\pmod{3}.
    (Existem infinitos inteiros com essas propriedades.) Para esse m temos:
    s_2[m^2]=2\quad(\text{pois }m\ne0), \qquad s_1[m^2]=0\quad(\text{pois }m^2\not\equiv 0\pmod{3}\\ \text{quando }m\not\equiv 0).
    Assim
    x[m^2]=s_1[m^2]+s_2[m^2]=0+2=2.
    Pelo pressuposto de periodicidade de x, deveríamos ter x[m^2+N]=x[m^2]=2. Mas pelo item anterior, como m>\tfrac{N-1}{2} temos m^2+N não é quadrado, logo s_2[m^2+N]=0. Além disso s_1 toma valores apenas 0 ou 1, então
    x[m^2+N]=s_1[m^2+N]+s_2[m^2+N]\le 1+0=1,
    o que contradiz x[m^2+N]=2. Portanto não existe período N para x.
  • Conclusão: x[n] não é periódico.

Resposta

x[n] não é periódico.

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