Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{2}-2}{x^{3}+1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite quando x tende a +\infty da razão
\frac{x^{2}-2}{x^{3}+1}.
Informações dadas:
  • A expressão é \dfrac{x^{2}-2}{x^{3}+1}.
  • A variável x tende para +\infty.
  • A tarefa é encontrar \displaystyle \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^{2}-2}{x^{3}+1}.

Passo 2

Plano (explicado de forma simples): quando x fica muito grande, termos como \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}}, \dfrac{1}{x^{3}} ficam muito pequenos (tendem a zero). Para expor esses termos, uma técnica direta é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece no denominador, aqui x^{3}. Isso transforma a expressão em funções de 1/x, cujo comportamento para x\to+\infty a gente sabe: vão a 0. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Dividindo numerador e denominador por x^{3} (colocando cada termo em forma de fração):
\frac{x^{2}-2}{x^{3}+1} = \frac{\dfrac{x^{2}}{x^{3}}-\dfrac{2}{x^{3}}}{\dfrac{x^{3}}{x^{3}}+\dfrac{1}{x^{3}}} = \frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x^{3}}}.

Passo 4

Agora estudamos os limites dos termos que aparecem:
  • Para x\to+\infty tem-se \displaystyle \frac{1}{x}\to 0. (Intuição: à medida que x cresce, \tfrac{1}{x} fica cada vez menor.)
  • Para x\to+\infty tem-se \displaystyle \frac{2}{x^{3}}\to 0. (Mesma ideia; potências maiores decaem ainda mais rápido.)
  • Para x\to+\infty tem-se \displaystyle \frac{1}{x^{3}}\to 0.
Uma justificativa rápida e formal: para qualquer k>0, \dfrac{1}{x^{k}} é positivo e menor ou igual a \dfrac{1}{x} para x\ge 1; como \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x}=0, o teorema do aperto (squeeze) dá \lim_{x\to+\infty}\dfrac{1}{x^{k}}=0.

Passo 5

Aplicando esses limites na expressão do Passo 3:
  • O numerador \dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{3}} tende a 0-0=0.
  • O denominador 1+\dfrac{1}{x^{3}} tende a 1+0=1.
Como o limite do denominador é diferente de zero, podemos tomar a razão dos limites:
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{x^{3}}}{1+\dfrac{1}{x^{3}}} =\frac{0}{1}=0.
Portanto o limite pedido é 0.

Passo 6

Comentário extra (método alternativo, curto): também é possível ver rapidamente pelo fato de que o grau do polinômio do numerador ( 2) é menor que o grau do denominador ( 3); para funções racionais polinomiais, quando o grau do numerador é menor que o do denominador, o limite em infinito é 0. Outro caminho é usar a regra de L’Hôpital (ambos numerador e denominador tendem a +\infty); derivando uma vez obtemos \dfrac{2x}{3x^{2}}=\dfrac{2}{3x} cujo limite é 0.

Resposta

0

Exercícios relacionados