Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite quando
tende a
da razão
Informações dadas:
- A expressão é
. - A variável
tende para . - A tarefa é encontrar
.
Passo 2
Plano (explicado de forma simples): quando
fica muito grande, termos como
,
,
ficam muito pequenos (tendem a zero). Para expor esses termos, uma técnica direta é dividir numerador e denominador pela maior potência de
que aparece no denominador, aqui
. Isso transforma a expressão em funções de
, cujo comportamento para
a gente sabe: vão a
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Dividindo numerador e denominador por
(colocando cada termo em forma de fração):
Passo 4
Agora estudamos os limites dos termos que aparecem:
- Para
tem-se . (Intuição: à medida que cresce, fica cada vez menor.) - Para
tem-se . (Mesma ideia; potências maiores decaem ainda mais rápido.) - Para
tem-se .
Uma justificativa rápida e formal: para qualquer
,
é positivo e menor ou igual a
para
; como
, o teorema do aperto (squeeze) dá
.
Passo 5
Aplicando esses limites na expressão do Passo 3:
- O numerador
tende a . - O denominador
tende a .
Como o limite do denominador é diferente de zero, podemos tomar a razão dos limites:
Portanto o limite pedido é
.
Passo 6
Comentário extra (método alternativo, curto): também é possível ver rapidamente pelo fato de que o grau do polinômio do numerador (
) é menor que o grau do denominador (
); para funções racionais polinomiais, quando o grau do numerador é menor que o do denominador, o limite em infinito é
. Outro caminho é usar a regra de L’Hôpital (ambos numerador e denominador tendem a
); derivando uma vez obtemos
cujo limite é
.