Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas e observações imediatas:
- A expressão envolve a função
e a variável tendendo a . - Sabe-se que
, então numerador e denominador vão para quando (forma indeterminada ). - É preciso encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Ideia-chave (sem calcular ainda): usar uma mudança de variável para aproveitar o limite clássico envolvendo seno. Seja
Vou explicar por que essa substituição é útil e válida: quando
, temos
, logo
. Além disso, por definição de
tem-se
Com essa relação, a expressão em
pode ser reescrita em termos de
, o que permite usar o limite conhecido de
.
Passo 3
Fazer a substituição explicitamente na fração. Começando da expressão original,
onde
. Como
implica
, o limite em
é equivalente ao limite em
:
Aqui se isolou o fator constante
porque ele não depende de
.
Passo 4
Agora precisamos avaliar
. Esse é o recíproco do limite clássico
. Vou mostrar por que
(essa é uma afirmação muito usada em provas).
Passo 5
Demonstração do limite
(argumento com desigualdades, válido para
próximo de
):
- Para
vale a desigualdade geométrica clássica
- Escrevendo
e dividindo tudo por e por quando conveniente, obtém-se
- Como
é contínua e , ao tomar as duas bordas da desigualdade tendem para . Pelo princípio do sanduíche (teorema do confronto), segue que
- A função
é par (porque e o quociente é o mesmo), então o limite à esquerda é igual ao da direita, logo
Portanto
Passo 6
Retornando ao limite que queremos, usando o resultado do passo anterior:
Interpretando:
comporta-se como
quando
é muito pequeno, então a razão
tende a
; o fator
na frente apenas escala o limite.