\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \arcsin x}{3 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0}\frac{2\arcsin x}{3x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A expressão envolve a função \arcsin x e a variável x tendendo a 0.
  • Sabe-se que \arcsin 0 = 0, então numerador e denominador vão para 0 quando x\to0 (forma indeterminada 0/0).
  • É preciso encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Ideia-chave (sem calcular ainda): usar uma mudança de variável para aproveitar o limite clássico envolvendo seno. Seja
y=\arcsin x.
Vou explicar por que essa substituição é útil e válida: quando x\to0, temos \arcsin x\to\arcsin 0 = 0, logo y\to0. Além disso, por definição de \arcsin tem-se
x=\sin y.
Com essa relação, a expressão em x pode ser reescrita em termos de y, o que permite usar o limite conhecido de \sin y.

Passo 3

Fazer a substituição explicitamente na fração. Começando da expressão original,
\frac{2\arcsin x}{3x}=\frac{2y}{3\sin y},
onde y=\arcsin x. Como x\to0 implica y\to0, o limite em x é equivalente ao limite em y:
\lim_{x\to 0}\frac{2\arcsin x}{3x}=\lim_{y\to 0}\frac{2y}{3\sin y}=\frac{2}{3}\lim_{y\to 0}\frac{y}{\sin y}.
Aqui se isolou o fator constante \tfrac{2}{3} porque ele não depende de y.

Passo 4

Agora precisamos avaliar \displaystyle\lim_{y\to0}\frac{y}{\sin y}. Esse é o recíproco do limite clássico \displaystyle\lim_{y\to0}\frac{\sin y}{y}=1. Vou mostrar por que \displaystyle\lim_{y\to0}\frac{\sin y}{y}=1 (essa é uma afirmação muito usada em provas).

Passo 5

Demonstração do limite \displaystyle\lim_{y\to0}\frac{\sin y}{y}=1 (argumento com desigualdades, válido para y próximo de 0):
  • Para 0<y<\tfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica clássica
\sin y < y < \tan y.
  • Escrevendo \tan y=\dfrac{\sin y}{\cos y} e dividindo tudo por y e por \sin y quando conveniente, obtém-se
1 > \frac{\sin y}{y} > \cos y.
  • Como \cos y é contínua e \cos 0 = 1, ao tomar y\to0^+ as duas bordas da desigualdade tendem para 1. Pelo princípio do sanduíche (teorema do confronto), segue que
\lim_{y\to0^+}\frac{\sin y}{y}=1.
  • A função \dfrac{\sin y}{y} é par (porque \sin(-y)=-\sin y e o quociente é o mesmo), então o limite à esquerda é igual ao da direita, logo
\lim_{y\to0}\frac{\sin y}{y}=1.
Portanto
\lim_{y\to0}\frac{y}{\sin y}=1.

Passo 6

Retornando ao limite que queremos, usando o resultado do passo anterior:
\lim_{x\to 0}\frac{2\arcsin x}{3x}=\frac{2}{3}\lim_{y\to 0}\frac{y}{\sin y}=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3}.
Interpretando: \arcsin x comporta-se como x quando x é muito pequeno, então a razão \arcsin x / x tende a 1; o fator 2/3 na frente apenas escala o limite.

Resposta

\dfrac{2}{3}

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