Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \infty}\left(x-\sqrt[3]{x^{3}-x}\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxtoinftyl(x-raiz[3]x^3-xr)
Como xtoinfty, tanto x quanto raiz[3]x^3-x crescem sem limite, gerando uma indeterminação do tipo infty-infty. Vamos usar a técnica de racionalização para diferença de raízes cúbicas, baseada na identidade de soma e diferença de cubos.

Passo 2

A identidade
a^3-b^3=(a-b)l(a^2+ab+b^2r)
implica
a-b=a^3-b^3a^2+ab+b^2
Tomando a=x e b=raiz[3]x^3-x, obtemos
x-raiz[3]x^3-x =x^3-l(raiz[3]x^3-xr)^3 x^2+x,raiz[3]x^3-x+l(raiz[3]x^3-xr)^2 =x^3-(x^3-x)x^2+x,raiz[3]x^3-x+l(raiz[3]x^3-xr)^2 =xx^2+x,raiz[3]x^3-x+l(raiz[3]x^3-xr)^2

Passo 3

Para xtoinfty,
raiz[3]x^3-x = xraiz[3]1-1x^2 = xl(1 - 13x^2 + ol(tfrac1x^2r)r) = x + o(x)
Assim, o denominador
x^2+x,raiz[3]x^3-x+l(raiz[3]x^3-xr)^2
comporta-se como
x^2+xcdot x + x^2 = 3x^2 + o(x^2)
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x-raiz[3]x^3-x = x3x^2+o(x^2) = 13x+o(x) ;longrightarrow;0

Resposta

0

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