- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do limite
Informações que temos: a expressão dentro da potência é
. Não há outras informações numéricas no enunciado.
Passo 2
Vamos olhar com calma para o numerador
. Reconhecer essa expressão é chave: ela é uma diferença de quadrados, que fatoriza. Lembre-se da fórmula da diferença de quadrados:
Aplicando com
e
, obtemos a fatoração
Passo 3
Substituindo a fatoração na fração do expoente temos, para
,
Como
no processo de calcular limite (estamos apenas nos aproximando de
), podemos cancelar o fator comum
e obter
Passo 4
Então, para
a função original é igual a
Isso mostra que a função tem uma forma simples (igual a
) em todos os pontos próximos de
, exceto exatamente em
onde a expressão original estava indeterminada antes do cancelamento. Esse tipo de situação chama-se uma descontinuidade removível: a expressão se comporta como
perto de
.
Passo 5
Agora usamos um fato importante sobre limites e funções contínuas: se
quando
e
é contínua em
, então
A função
é contínua para todo
. Aqui
e claramente
Pelo teorema de substituição para funções contínuas,
Passo 6
Portanto o limite pedido é
Se quiser conferir numericamente:
.