1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 2} 3^{\frac{x^{2}-4}{x-2}}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to 2} 3^{\frac{x^{2}-4}{x-2}}.
Informações que temos: a expressão dentro da potência é \dfrac{x^{2}-4}{x-2}. Não há outras informações numéricas no enunciado.

Passo 2

Vamos olhar com calma para o numerador x^{2}-4. Reconhecer essa expressão é chave: ela é uma diferença de quadrados, que fatoriza. Lembre-se da fórmula da diferença de quadrados:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b).
Aplicando com a=x e b=2, obtemos a fatoração
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 3

Substituindo a fatoração na fração do expoente temos, para x\neq2,
\frac{x^{2}-4}{x-2}=\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}.
Como x\neq2 no processo de calcular limite (estamos apenas nos aproximando de 2), podemos cancelar o fator comum x-2 e obter
\frac{x^{2}-4}{x-2}=x+2\qquad\text{(para }x\neq2\text{)}.

Passo 4

Então, para x\neq2 a função original é igual a
3^{\frac{x^{2}-4}{x-2}}=3^{x+2}.
Isso mostra que a função tem uma forma simples (igual a 3^{x+2}) em todos os pontos próximos de 2, exceto exatamente em x=2 onde a expressão original estava indeterminada antes do cancelamento. Esse tipo de situação chama-se uma descontinuidade removível: a expressão se comporta como 3^{x+2} perto de 2.

Passo 5

Agora usamos um fato importante sobre limites e funções contínuas: se g(x)\to L quando x\to a e f é contínua em L, então
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f(L).
A função t\mapsto 3^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}. Aqui g(x)=x+2 e claramente
\lim_{x\to 2} (x+2)=4.
Pelo teorema de substituição para funções contínuas,
\lim_{x\to 2} 3^{x+2}=3^{\lim_{x\to 2}(x+2)}=3^{4}.

Passo 6

Portanto o limite pedido é
3^{4}.
Se quiser conferir numericamente: 3^{4}=3\cdot3\cdot3\cdot3=81.

Resposta

81

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