Em um processo de Poisson, o tempo até a k-ésima ocorrência segue uma distribuição Gama. Para k=2 (fixo), a variável X tem densidade que depende de um parâmetro de taxa \beta. Sabe-se que Q=2 \beta X \sim \chi_{4}^{2}. Se o segundo evento ocorreu no tempo x=15, monte o IC de 90 \% para a taxa \beta. (Dados: \chi_{4 ; 0,05}^{2}=0,71 e \chi_{4 ; 0,95}^{2}=9,49 ).

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pedido: construir um intervalo de confiança de 90\% para a taxa \beta do processo de Poisson, dado que o segundo evento ocorreu no tempo x=15.
  • Informações fornecidas:
    • O número de eventos alvo é k=2 (fixo).
    • A variável tempo até o k-ésimo evento é X e foi observada X=15.
    • A parametrização é por taxa \beta.
    • Sabe-se que a quantidade Q=2\,\beta X tem distribuição \chi^2 com 4 graus de liberdade, ou seja Q \sim \chi^2_4.
    • Foram fornecidos os quantis da distribuição qui-quadrado: \chi^{2}_{4;0,05}=0,71 e \chi^{2}_{4;0,95}=9,49.
  • Portanto: quero um IC de 90\% para \beta usando a observação X=15 e o pivô Q=2\beta X.

Passo 2

Breve aula sobre a relação Gamma — qui-quadrado e por que usamos o pivô.
  • Para um processo de Poisson, o tempo até o k-ésimo evento tem distribuição Gama com parâmetros de forma k e taxa \beta. A densidade (para k inteiro) é
f_X(x)=\frac{\beta^{k} x^{k-1} e^{-\beta x}}{(k-1)!},\qquad x>0.
Aqui cada símbolo significa:
  • \beta é a taxa (unidade: 1/tempo).
  • k é o número de eventos (aqui k=2).
  • x é o tempo observado até o k-ésimo evento.
  • Existe uma propriedade importante: se X\sim\text{Gamma}(k,\beta) então a variável 2\beta X segue uma distribuição qui‑quadrado com 2k graus de liberdade:
2\beta X \sim \chi^2_{2k}.
No nosso caso, com k=2, obtemos 2\beta X \sim \chi^2_4. Essa é uma quantidade pivot (depende de dados e do parâmetro, e tem distribuição conhecida independente de parâmetros desconhecidos além dos especificados), então é ideal para construir intervalos de confiança.

Passo 3

Usando o pivô para montar o intervalo de confiança — ideia e derivação algébrica.
  • Para um nível de confiança 1-\alpha=0{,}90 (ou seja \alpha=0{,}10), os quantis centrais da \chi^2_4 satisfazem
P\!\left(\chi^{2}_{4;0,05}\le 2\beta X \le \chi^{2}_{4;0,95}\right)=0{,}90.
  • Isolando \beta na desigualdade, dividimos tudo por 2X (que é positivo porque X>0):
P\!\left(\frac{\chi^{2}_{4;0,05}}{2X}\le \beta \le \frac{\chi^{2}_{4;0,95}}{2X}\right)=0{,}90.
  • Assim o intervalo de confiança de 90\% para \beta é dado pelos extremos
\beta_{L}=\frac{\chi^{2}_{4;0,05}}{2X} \qquad\text{e}\qquad \beta_{U}=\frac{\chi^{2}_{4;0,95}}{2X}.

Passo 4

Substituindo os valores numéricos (cálculo passo a passo).
  • Peguei o valor de X do enunciado: X=15.
  • Peguei os quantis da imagem/enunciado: \chi^{2}_{4;0,05}=0,71 e \chi^{2}_{4;0,95}=9,49.
  • Calcular o limite inferior:
\beta_{L}=\frac{\chi^{2}_{4;0,05}}{2X}=\frac{0,71}{2\cdot 15}=\frac{0,71}{30}=\frac{71}{3000}=0,023666\ldots
(aproximando: 0,02367).
  • Calcular o limite superior:
\beta_{U}=\frac{\chi^{2}_{4;0,95}}{2X}=\frac{9,49}{2\cdot 15}=\frac{9,49}{30}=\frac{949}{3000}=0,316333\ldots
(aproximando: 0,31633).

Passo 5

Interpretação rápida e dicas para a prova.
  • O procedimento usado é genérico: quando existir um pivô g(\theta,X) com distribuição conhecida, basta usar os quantis centrais desse pivô e isolar o parâmetro \theta.
  • Aqui o pivô foi 2\beta X porque da relação entre Gamma e qui‑quadrado. Em prova, identificar essa relação é o passo chave.
  • Anote sempre os quantis corretos (lower = \alpha/2, upper = 1-\alpha/2) e divida por 2X — passo algébrico simples, sem necessidade de calculadora complicada (só divisão).

Resposta

\displaystyle \beta\in\bigl(0,02367,\;0,31633\bigr)

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