Em um processo de Poisson, o tempo até a
-ésima ocorrência segue uma distribuição Gama. Para
(fixo), a variável
tem densidade que depende de um parâmetro de taxa
. Sabe-se que
. Se o segundo evento ocorreu no tempo
, monte o IC de
para a taxa
. (Dados:
e
).
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pedido: construir um intervalo de confiança de
para a taxa do processo de Poisson, dado que o segundo evento ocorreu no tempo . - Informações fornecidas:
- O número de eventos alvo é
(fixo). - A variável tempo até o
-ésimo evento é e foi observada . - A parametrização é por taxa
. - Sabe-se que a quantidade
tem distribuição com graus de liberdade, ou seja . - Foram fornecidos os quantis da distribuição qui-quadrado:
e .
- O número de eventos alvo é
- Portanto: quero um IC de
para usando a observação e o pivô .
Passo 2
Breve aula sobre a relação Gamma — qui-quadrado e por que usamos o pivô.
- Para um processo de Poisson, o tempo até o
-ésimo evento tem distribuição Gama com parâmetros de forma e taxa . A densidade (para inteiro) é
Aqui cada símbolo significa:
-
é a taxa (unidade: 1/tempo). -
é o número de eventos (aqui ). -
é o tempo observado até o -ésimo evento. -
Existe uma propriedade importante: se
então a variável segue uma distribuição qui‑quadrado com graus de liberdade:
No nosso caso, com
, obtemos
. Essa é uma quantidade pivot (depende de dados e do parâmetro, e tem distribuição conhecida independente de parâmetros desconhecidos além dos especificados), então é ideal para construir intervalos de confiança.
Passo 3
Usando o pivô para montar o intervalo de confiança — ideia e derivação algébrica.
- Para um nível de confiança
(ou seja ), os quantis centrais da satisfazem
- Isolando
na desigualdade, dividimos tudo por (que é positivo porque ):
- Assim o intervalo de confiança de
para é dado pelos extremos
Passo 4
Substituindo os valores numéricos (cálculo passo a passo).
- Peguei o valor de
do enunciado: . - Peguei os quantis da imagem/enunciado:
e . - Calcular o limite inferior:
(aproximando:
).
- Calcular o limite superior:
(aproximando:
).
Passo 5
Interpretação rápida e dicas para a prova.
- O procedimento usado é genérico: quando existir um pivô
com distribuição conhecida, basta usar os quantis centrais desse pivô e isolar o parâmetro . - Aqui o pivô foi
porque da relação entre Gamma e qui‑quadrado. Em prova, identificar essa relação é o passo chave. - Anote sempre os quantis corretos (lower =
, upper = ) e divida por — passo algébrico simples, sem necessidade de calculadora complicada (só divisão).