A função considerada é x\mapsto \pi^{\frac{\sin(7x)}{\sin(13x)}}.
A base \pi é um número positivo fixo.
O limite é quando x\to 0.
Para resolver, será necessário conhecer o comportamento de \sin(t) quando t\to 0, em particular o limite clássico \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1.
Passo 2
Vamos recordar e justificar o limite fundamental \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1.
Para 0<t<\dfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica clássica
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Esta desigualdade vem de comparar áreas/ângulos em um círculo unitário (ou a partir de \sin t < t < \tan t, que implica a forma acima). Como \lim_{t\to 0}\cos t = 1, pelo teorema do sanduíche (squeeze) obtemos
\lim_{t\to 0^+}\frac{\sin t}{t}=1.
A função \dfrac{\sin t}{t} é par, então o mesmo limite vale quando t\to 0^-; portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.
Passo 3
Usamos o resultado do Passo 2 para tratar a razão no expoente. Escrevemos
A função y\mapsto \pi^{y} é contínua (por exemplo \pi^{y}=e^{y\ln\pi} e a exponencial é contínua), logo o limite da composição é a composição dos limites. Portanto