Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \pi^{\frac{\operatorname{sen}(7 x)}{\operatorname{sen}(13 x)}}\

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x \to 0} \pi^{\frac{\sin(7x)}{\sin(13x)}}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função considerada é x\mapsto \pi^{\frac{\sin(7x)}{\sin(13x)}}.
  • A base \pi é um número positivo fixo.
  • O limite é quando x\to 0.
  • Para resolver, será necessário conhecer o comportamento de \sin(t) quando t\to 0, em particular o limite clássico \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1.

Passo 2

Vamos recordar e justificar o limite fundamental \lim_{t\to 0}\dfrac{\sin t}{t}=1.
Para 0<t<\dfrac{\pi}{2} vale a desigualdade geométrica clássica
\cos t < \frac{\sin t}{t} < 1.
Esta desigualdade vem de comparar áreas/ângulos em um círculo unitário (ou a partir de \sin t < t < \tan t, que implica a forma acima). Como \lim_{t\to 0}\cos t = 1, pelo teorema do sanduíche (squeeze) obtemos
\lim_{t\to 0^+}\frac{\sin t}{t}=1.
A função \dfrac{\sin t}{t} é par, então o mesmo limite vale quando t\to 0^-; portanto
\lim_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1.

Passo 3

Usamos o resultado do Passo 2 para tratar a razão no expoente. Escrevemos
\frac{\sin(7x)}{\sin(13x)} = \frac{\sin(7x)}{7x}\cdot\frac{13x}{\sin(13x)}\cdot\frac{7}{13}.
Agora aplicamos limites parciais quando x\to 0:
  • \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{7x}=1 por substituição t=7x no limite do Passo 2.
  • \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{\sin(13x)}{13x}=1 por substituição t=13x; assim \displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{13x}{\sin(13x)}=1.
Multiplicando os limites parciais, obtemos
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{\sin(13x)} = 1\cdot 1\cdot\frac{7}{13}=\frac{7}{13}.

Passo 4

Agora temos que o expoente converge:
\frac{\sin(7x)}{\sin(13x)} \xrightarrow[x\to 0]{} \frac{7}{13}.
A função y\mapsto \pi^{y} é contínua (por exemplo \pi^{y}=e^{y\ln\pi} e a exponencial é contínua), logo o limite da composição é a composição dos limites. Portanto
\lim_{x\to 0} \pi^{\frac{\sin(7x)}{\sin(13x)}} = \pi^{\lim_{x\to 0}\frac{\sin(7x)}{\sin(13x)}} = \pi^{\frac{7}{13}}.

Resposta

\pi^{\frac{7}{13}}

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