Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 1} x^{2}-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow 1} x^{2}-1.
Informações dadas:
\text{função } f(x)=x^{2}-1,\qquad\text{ponto de interesse } x\to 1.çã
Não há outras condições especiais no enunciado — apenas avaliar o comportamento de f(x) quando x se aproxima de 1.

Passo 2

O que significa calcular esse limite (explicação didática)?
Quando escrevemos \lim_{x\to1} f(x) estamos perguntando qual valor os valores de f(x) se aproximam quando x fica cada vez mais perto de 1. Uma regra prática muito útil para funções polinomiais é:
  • Polinômios são contínuos em todo ponto; isso significa que o limite quando x tende a um ponto é simplesmente o valor da função nesse ponto.
    Em outras palavras, se f é um polinômio então
\lim_{x\to a} f(x)=f(a).
Isso vale porque polinômios são feitos por somas e produtos de funções simples ( x, constantes), e essas operações preservam continuidade.

Passo 3

Aplicando a regra de continuidade (método direto):
Como f(x)=x^{2}-1 é um polinômio, podemos substituir x=1 diretamente:
f(1)=1^{2}-1=1-1=0.
Logo, pela continuidade,
\lim_{x\to1} x^{2}-1=0.

Passo 4

Uma alternativa (útil em exames): fatoração para ver o comportamento
Às vezes é bom reescrever a expressão para entender melhor. Usamos a diferença de quadrados:
x^{2}-1=(x-1)(x+1).
Quando x\to1 essa expressão tende a
(1-1)\cdot(1+1)=0\cdot 2=0.
Esse raciocínio confirma o resultado anterior e mostra o porquê do valor ser 0.

Passo 5

Dica prática para a prova (empatia e incentivo):
  • Para polinômios, tente sempre a substituição direta primeiro — é rápida e geralmente funciona.
  • Se ao substituir você obtiver uma forma indeterminada (por exemplo 0/0), aí sim use fatoração e cancelamento.
    Você está indo bem; essa é daquelas questões que ficam fáceis com prática. Continue assim!

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