Exercício 6. Considere a função
f(x)=\left\{\begin{array}{ll} e^{-x}, & \text { se } x<0 \\\\ 1, & \text { se } x=0 \\\\ 2 x+1, & \text { se } x>0 \end{array} .\right.
Calcule \lim _{x \rightarrow 0} f(x). Esta função é contínua em x=0 ? Esboce o gráfico da função em torno do ponto x=0 e determine se f(x) é diferenciável em x=0.

Passo 1

Enunciado e o que é pedido.
Temos a função definida em partes
f(x)=\begin{cases} e^{-x}, & \text{se } x<0,\\[4pt] 1, & \text{se } x=0,\\[4pt] 2x+1, & \text{se } x>0. \end{cases}
As perguntas do enunciado são:
  1. Calcular \lim_{x\to 0} f(x).
  2. Verificar se f é contínua em x=0.
  3. Esboçar o gráfico de f em torno de x=0.
  4. Determinar se f é diferenciável em x=0.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Para x<0 a função é \,e^{-x}.
  • Em x=0 a função vale \,1.
  • Para x>0 a função é \,2x+1.
A resolução começa agora.]

Passo 2

Entendendo limites laterais e calculando o limite pela esquerda ( \lim_{x\to0^-} f(x)).
Conceito rápido: \lim_{x\to 0^-} f(x) é o valor para onde f(x) se aproxima quando x tende a 0 vindo pela esquerda (valores negativos). Para x<0 temos f(x)=e^{-x}. Então calculamos
\lim_{x\to 0^-} f(x)=\lim_{x\to 0^-} e^{-x}.
A função e^{-x} é contínua em todos os pontos, então basta substituir x=0 no núcleo da expressão:
\lim_{x\to 0^-} e^{-x}=e^{0}=1.
Interpretação prática: quando x se aproxima de 0 por valores negativos, e^{-x} tende para 1 (vindo por valores ligeiramente maiores que 1, porque para x<0 temos -x>0 e e^{-x}>1).

Passo 3

Calculando o limite pela direita ( \lim_{x\to0^+} f(x)).
Conceito rápido: \lim_{x\to 0^+} f(x) é o valor para onde f(x) se aproxima quando x tende a 0 vindo pela direita (valores positivos). Para x>0 temos f(x)=2x+1. Então
\lim_{x\to 0^+} f(x)=\lim_{x\to 0^+} (2x+1).
A expressão 2x+1 é uma função polinomial (linear), contínua, então substituímos x=0:
\lim_{x\to 0^+} (2x+1)=2\cdot 0+1=1.
Interpretação prática: a reta 2x+1 passa por (0,1) e se aproxima de 1 quando x tende a 0 pela direita.

Passo 4

Conclusão sobre o limite total \lim_{x\to 0} f(x).
Teorema prático: o limite \lim_{x\to 0} f(x) existe se, e somente se, as duas limites laterais são iguais:
\lim_{x\to 0} f(x)=L \quad\Longleftrightarrow\quad \lim_{x\to0^-} f(x)=\lim_{x\to0^+} f(x)=L.
Já calculamos:
\lim_{x\to 0^-} f(x)=1\quad\text{e}\quad \lim_{x\to 0^+} f(x)=1.
Como os dois são iguais a 1, concluímos
\lim_{x\to 0} f(x)=1.

Passo 5

Verificação de continuidade em x=0.
Definição prática: f é contínua em x=0 se \lim_{x\to 0} f(x) existir e for igual a f(0).
Temos:
\lim_{x\to 0} f(x)=1
e do enunciado f(0)=1. Como os dois coincidem, f é contínua em x=0.
Pequeno incentivo: ou seja, não há “salto” no valor da função em 0; o ponto está preenchido exatamente no lugar que os ramos se aproximam — isso é continuidade. Bom trabalho por acompanhar até aqui!

Passo 6

Esboço do gráfico de f em torno de x=0 — descrição para desenhar.
Como desenhar passo a passo:
  • Para x<0: desenhe a curva y=e^{-x}. Observações úteis: \,e^{-x} é uma função decrescente (derivada -e^{-x}<0); quando x\to 0^- a curva tende a y=1 vindo de cima (valores maiores que 1). Quando x\to -\infty, e^{-x}\to +\infty.
  • Em x=0: o ponto é (0,1) e está preenchido (porque f(0)=1).
  • Para x>0: desenhe a reta y=2x+1. Essa reta tem coeficiente angular 2 e intercepto em y=1, então ela passa por (0,1) e sobe rapidamente à direita.
Resultado visual (mental): os dois ramos se encontram no ponto (0,1) sem salto, mas com inclinações diferentes — do lado esquerdo a curva chega com declive -1 (veremos isso no próximo passo) e do lado direito a reta tem declive 2. Portanto o gráfico tem um “canto” em (0,1).

Passo 7

Verificação de diferenciabilidade em x=0: cálculo das derivadas laterais e explicação.
Conceito: f é diferenciável em x=0 se o limite do quociente incremental existir (independente do lado), isto é, se a derivada pela esquerda e pela direita coincidirem:
f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}
existe e é o mesmo vindo por h\to0^- e h\to0^+.
Cálculo da derivada pela esquerda (usando que, para x<0, f(x)=e^{-x}):
  • Podemos usar a regra da derivada da exponencial composta: se g(x)=e^{u(x)}, então g'(x)=u'(x)e^{u(x)}. Aqui u(x)=-x e u'(x)=-1, então
\frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}.
A derivada lateral esquerda em 0 é o valor dessa derivada avaliada em 0:
f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\left.\frac{d}{dx}e^{-x}\right|_{x=0}=-e^{0}=-1.
Cálculo da derivada pela direita (usando que, para x>0, f(x)=2x+1):
  • A derivada de uma função linear ax+b é simplesmente a (a inclinação).
\frac{d}{dx}(2x+1)=2.
Assim a derivada lateral direita em 0 é
f'_+(0)=2.
Como f'_-(0)=-1 e f'_+(0)=2 são diferentes, a derivada bilateral não existe. Portanto f não é diferenciável em x=0.
Intuição final: mesmo sendo contínua, a função tem um “kink” (canto) em 0 — os dois ramos tocam o mesmo ponto mas com inclinações diferentes, por isso não dá para “alinhar” uma única reta tangente em 0.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to 0} f(x)=1
f é contínua em x=0 (sim).
Esboço: para x<0 o ramo é y=e^{-x} que tende a 1 vindo de cima; em x=0 o ponto é (0,1) preenchido; para x>0 o ramo é a reta y=2x+1 (passa por (0,1) com inclinação 2).
f não é diferenciável em x=0 (derivada à esquerda =-1, à direita =2).

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