QUESTÕES 11: (OBMEP) Em uma caixa havia seis bolas, sendo três vermelhas, duas brancas e uma preta. Renato retirou quatro bolas da caixa. Qual afirmação a respeito das bolas retiradas é correta? (peso-0,70)
A) Pelo menos uma bola é preta.
B) Pelo menos uma bola é branca.
C) Pelo menos uma bola é vermelha.
D) No máximo duas bolas são vermelhas
A) Pelo menos uma bola é preta.
B) Pelo menos uma bola é branca.
C) Pelo menos uma bola é vermelha.
D) No máximo duas bolas são vermelhas
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações: havia
bolas na caixa, sendo
vermelhas,
brancas e
preta. Renato retirou
bolas da caixa. O que nos pedem é escolher qual das afirmações abaixo é necessariamente correta sobre as bolas retiradas:
A) Pelo menos uma bola é preta.
B) Pelo menos uma bola é branca.
C) Pelo menos uma bola é vermelha.
D) No máximo duas bolas são vermelhas.
A) Pelo menos uma bola é preta.
B) Pelo menos uma bola é branca.
C) Pelo menos uma bola é vermelha.
D) No máximo duas bolas são vermelhas.
Passo 2
Analisando a afirmação A: “Pelo menos uma bola é preta.”
Para essa afirmação ser necessariamente verdadeira, toda escolha de bolas possíveis teria de conter a bola preta. Mas podemos construir um exemplo de retirada sem a bola preta: retirar as
vermelhas e
branca (isto é,
vermelhas +
branca =
bolas) resulta numa amostra sem nenhuma bola preta. Como existe pelo menos uma retirada possível sem preta, a afirmação A não é necessariamente verdadeira — logo A está errada.
Para essa afirmação ser necessariamente verdadeira, toda escolha de
Passo 3
Analisando a afirmação B: “Pelo menos uma bola é branca.”
Para B ser sempre verdadeira, toda escolha de bolas teria de incluir ao menos uma branca. Mas existe uma retirada sem brancas: retirar as
vermelhas e a
preta (isto é,
vermelhas +
preta =
bolas) produz uma amostra sem nenhuma branca. Como encontramos uma retirada possível sem branca, a afirmação B não é necessariamente verdadeira — logo B está errada.
Para B ser sempre verdadeira, toda escolha de
Passo 4
Analisando a afirmação D: “No máximo duas bolas são vermelhas.”
Para D ser verdadeira sempre, nenhuma retirada de bolas poderia ter
ou
vermelhas. Mas existe uma retirada com
vermelhas: por exemplo, retirar as
vermelhas e
branca (novamente
vermelhas +
branca =
). Nessa retirada há
vermelhas, que contradiz “no máximo duas”. Portanto D não é necessariamente verdadeira — logo D está errada.
Para D ser verdadeira sempre, nenhuma retirada de
Passo 5
Analisando a afirmação C: “Pelo menos uma bola é vermelha.”
Aqui é útil ver quantas bolas não-vermelhas existem na caixa: há brancas +
preta =
bolas que não são vermelhas. Se Renato retira
bolas, ele está pegando mais bolas do que o total de bolas não-vermelhas disponíveis (
). Logo, mesmo que ele tentasse evitar todas as vermelhas, não há bolas não-vermelhas suficientes para preencher as
retiradas. Em termos simples: como só existem
bolas que não são vermelhas, ao escolher
bolas necessariamente pelo menos uma delas terá de ser vermelha. Esse raciocínio é uma aplicação direta da ideia do princípio da casa dos pombos (pigeonhole): se existem
objetos de um tipo e você escolhe
objetos, pelo menos um deve ser de outro tipo. Portanto, a afirmação C é verdadeira em todas as retiradas possíveis.
Aqui é útil ver quantas bolas não-vermelhas existem na caixa: há
Passo 6
Concluímos que, entre as quatro opções, apenas a afirmação que é sempre verdadeira é que há pelo menos uma bola vermelha entre as
retiradas.
Resposta
C