QUESTÕES 11: (OBMEP) Em uma caixa havia seis bolas, sendo três vermelhas, duas brancas e uma preta. Renato retirou quatro bolas da caixa. Qual afirmação a respeito das bolas retiradas é correta? (peso-0,70)
A) Pelo menos uma bola é preta.
B) Pelo menos uma bola é branca.
C) Pelo menos uma bola é vermelha.
D) No máximo duas bolas são vermelhas

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações: havia 6 bolas na caixa, sendo 3 vermelhas, 2 brancas e 1 preta. Renato retirou 4 bolas da caixa. O que nos pedem é escolher qual das afirmações abaixo é necessariamente correta sobre as bolas retiradas:
A) Pelo menos uma bola é preta.
B) Pelo menos uma bola é branca.
C) Pelo menos uma bola é vermelha.
D) No máximo duas bolas são vermelhas.

Passo 2

Analisando a afirmação A: “Pelo menos uma bola é preta.”
Para essa afirmação ser necessariamente verdadeira, toda escolha de 4 bolas possíveis teria de conter a bola preta. Mas podemos construir um exemplo de retirada sem a bola preta: retirar as 3 vermelhas e 1 branca (isto é, 3 vermelhas + 1 branca = 4 bolas) resulta numa amostra sem nenhuma bola preta. Como existe pelo menos uma retirada possível sem preta, a afirmação A não é necessariamente verdadeira — logo A está errada.

Passo 3

Analisando a afirmação B: “Pelo menos uma bola é branca.”
Para B ser sempre verdadeira, toda escolha de 4 bolas teria de incluir ao menos uma branca. Mas existe uma retirada sem brancas: retirar as 3 vermelhas e a 1 preta (isto é, 3 vermelhas + 1 preta = 4 bolas) produz uma amostra sem nenhuma branca. Como encontramos uma retirada possível sem branca, a afirmação B não é necessariamente verdadeira — logo B está errada.

Passo 4

Analisando a afirmação D: “No máximo duas bolas são vermelhas.”
Para D ser verdadeira sempre, nenhuma retirada de 4 bolas poderia ter 3 ou 4 vermelhas. Mas existe uma retirada com 3 vermelhas: por exemplo, retirar as 3 vermelhas e 1 branca (novamente 3 vermelhas + 1 branca = 4). Nessa retirada há 3 vermelhas, que contradiz “no máximo duas”. Portanto D não é necessariamente verdadeira — logo D está errada.

Passo 5

Analisando a afirmação C: “Pelo menos uma bola é vermelha.”
Aqui é útil ver quantas bolas não-vermelhas existem na caixa: há 2 brancas + 1 preta = 3 bolas que não são vermelhas. Se Renato retira 4 bolas, ele está pegando mais bolas do que o total de bolas não-vermelhas disponíveis ( 4>3). Logo, mesmo que ele tentasse evitar todas as vermelhas, não há bolas não-vermelhas suficientes para preencher as 4 retiradas. Em termos simples: como só existem 3 bolas que não são vermelhas, ao escolher 4 bolas necessariamente pelo menos uma delas terá de ser vermelha. Esse raciocínio é uma aplicação direta da ideia do princípio da casa dos pombos (pigeonhole): se existem m objetos de um tipo e você escolhe m+1 objetos, pelo menos um deve ser de outro tipo. Portanto, a afirmação C é verdadeira em todas as retiradas possíveis.

Passo 6

Concluímos que, entre as quatro opções, apenas a afirmação que é sempre verdadeira é que há pelo menos uma bola vermelha entre as 4 retiradas.

Resposta

C

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